Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Licence de Mathematiques Universite de Grenoble Topologie, L31 1er semestre 2007/2008 Feuille d'exercices no 2 Continuite Exercice 1 : Soit f une application de R dans R, monotone. 1) En utilisant la propriete de la borne superieure, demontrer que f admet en tout point x ? R une limite a gauche et une limite a droite. 2) En deduire que si f(R) est un intervalle, alors f est continue. Exercice 2 : Soit I = [0, 1]. Soit f une application continue de I dans lui-meme. Montrer que f admet (au moins) un point fixe (i.e. un point x tel que f(x) = x). Exercice 3 : Un randonneur gravit une montagne. Sachant qu'il a monte les 1200m de denivele en 3h, montrer qu'il a durant son parcours monte 400m de denivele en 1h exactement. Limites simples et uniformes de fonctions Exercice 4 : Donner la limite des suites de fonctions suivantes et dire si cette limite est simple ou uniforme. 1) fn(x) = xe?nx, x ≥ 0, n ? N. 2) fn(x) = n2x si x ? [0, 1n ] ; fn(x) = n2( 2n ? x) si x ? [ 1n , 2n ] et fn(x) = 0 si x ≥ 2n .
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