Licence ST Annee Semestre d'automne Un Corrige du controle terminal Math IV Algebre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Licence ST - Annee 2008/2009 - Semestre d'automne Un Corrige du controle terminal, Math IV Algebre Questions de cours 1. Etant donne un espace vectoriel E sur un corps k, rappeler la definition du dual de E. Le dual de E est l'ensemble des formes lineaires sur E, i.e. l'ensemble des applications lineaires de E vers k. 2. Donner la definition de la transposee d'une application lineaire. Etant donnee une application lineaire u : E ? F , sa transposee tu est l'application tu : F ? ? E? donnee par tu(w) = w ? u. 3. Donner la definition d'une matrice orthogonale. C'est une matrice carree A telle que tA ·A est egal a la matrice identite. Exercice 1 Sur R3, soit q la forme quadratique definie par q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 8xz ? 14yz. 1. Donner la matrice de q relativement a la base canonique. La matrice en question est la suivante : ? ? 2 ?2 4 ?2 5 ?7 4 ?7 5 ? ? . 2. Utiliser l'orthogonalisation de Gauss et donner une base orthogonale pour q. q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 8xz ? 14yz = 2(x2 + 2x(?y + 2z)) + 5y2 + 5z2 ? 14yz = 2

• elements de base canonique de r3


• r3 du produit scalaire


• licence st - annee

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• Langue: Français

Extrait

Licence ST  UnCorrige´

Ann´ee2008/2009Semestred’automne ducontroˆleterminal,MathIVAlge`bre

Questions de cours ´ 1.Etantdonne´unespacevectorielEsur un corpskududedlainfienoitelerlad´,rappE.

Le dual deEroemedfsbmelneesurress´eaislinel’stE, i.e. l’ensemble des applications lin´eairesdeEversk. 2.Donnerlad´efinitiondelatranspose´ed’uneapplicationlin´eaire.

t ´ Etantdonn´eeuneapplicationline´aireu:E→Fs,snoptaaree´suest l’application t∗ ∗t u:F→Edonne´perau(w) =w◦u. 3.Donnerlad´efinitiond’unematriceorthogonale.

t C’estunematricecarr´eeAtelle queA∙A´egaestamatl`aldineirec.eit´t Exercice 1 3 SurR, soitqiqued´efinieparmrofaltardauqe

2 2 2 q(x, y, z) = 2x+ 5y+ 5z−4xy+ 8xz−14yz.

1. Donnerla matrice deqemtniteveral.eniqucanobase`ala

La matrice en question est la suivante :   2−2 4   −2 5−7 . 4−7 5

2. Utiliserl’orthogonalisation de Gauss et donner une base orthogonale pourq.

2 2 2 q(x, y, z) = 2x+ 5y+ 5z−4xy+ 8xz−14yz 2 22 = 2(x+ 2x(−y+ 2z)) + 5y+ 5z−14yz 2 22 2 = 2[(x+ (−y+ 2z))−(−y+ 2z) ]+ 5y+ 5z−14yz 2 22 22 = 2[(x−y+ 2z)−(y+ 4z−4yz)] + 5y+ 5z−14yz 2 2 2 = 2(x−y+ 2z) +3y−3z−6yz 2 22 = 2(x−y+ 2z) +3(y−2yz)−3z 2 22 2 = 2(x−y+ 2z) +3[(y−z)−z]−3z 2 22 = 2(x−y+ 2z3() +y−z)−6z . Remarque:pourdesraisonspratiques,jevais´ecrirelesvecteurssousformedelignesau lieu de colonnes comme habituellement.

1

3 Notonse 1 , e 2 , e 3 noniquedel´eesme´lstneabedacesRet notonsb 1 , b 2 , b 3 ceux de la baserecherch´ee.Onpeutobtenirlesb i en remarquant qu’un vecteur (x, y, z) aura pour coordonn´eesx−y+ 2z,y−zetzlsbasafednasorm´eedeb i . Cette remarque donne lieu aux relations suivantes : e 1 =b 1 , e 2 =−b 1 +b 2 , e 3 = 2b 1 −b 2 +b 3 .

Dececi,onde´duitque b 1 =e 1 = (1,0,0), b 2 =e 2 +e 1 = (1,1,0), b 3 =e 3 −2b 1 +b 2 = (−1,1,1). 3. Donnerle rang et la signature deq.

Onae´crit 2 22 q(x, y, z) = 2(x−y+ 2z3() +y−z)−6z . Onend´eduitquelasignaturedeqest (2,1) et son rang est 3. 3 4. Trouverun vecteur non nulvdeRtel queq(v) = 0. ′ ′ Indication :on pourra cherchervdans Vect(w, wu`o)w, wsont deux vecteurs de la base ′ trouve´etelsqueq(w)q(w)<0.

Soientα, βdeux scalaires etv=αb 1 +βb 3 . Ainsiv(see´nodrooacroupα,0, β) dans la base desb i uqnesne´nEoc.na:ce,o    2 00α 2 2    q(v) = (α,0, β)∙ 0 30 ∙2 0 = α−6β . 0 0−6β √ √ Parconse´quentsiα= 3etβ= 1, on obtient 0 cidessus. Ainsi le vecteurv= 3b 1 +b 3 = √ ( 3−1,1,a`dnuqalr)1ope´on.esti Exercice 2 Soitcree´morbunntoi.SelEidemsnoi3nS.iotedlee´rleirotcevcepaesunB= (b 1 , b 2 , b 3 ) une basedonne´edeE. Soitqla forme quadratique surEtricsamaativerela`tnemeqeeuetllBest   0c1   M= c−1 0 . 1 0 4

1. Donnerq(b 1 ),q(b 2 ) etq(b 3 reque´dneiudete)qe.ivategn´estnid´en’isitevinnfieiinop

Notonsbla forme polaire deq. La matriceMa pour coefficients lesb(b i , b j ) ainsiq(b 1 ) = b(b 1 , b 1 eˆem,=0)em.Dq(b 2 ) =−1 etq(b 3 ) = 4.

2

On aq(b 1 ) = 0 etb 1 nods)eenstanbocecqust’el(nuispudtneenu’e´nume´lqn’est pas de´finie.Deplus,puisqueq(b 2 )<0,qn’est pas positive et puisqueq(b 3 )>0,qn’est pas n´egative. 2.Calculerled´eterminantdeMederutangisalteganerelirdu´end.Eqen fonction dec.

Oncalculelede´terminantende´veloppantparrapporta`lapremie`religneetonobtient: 2 det(M) = 1−4c= (1−2c)(1 + 2c). Ainsi on a 3 cas : (a) Casou`c= 1/2 ouc=−1/2. Ici, det(M) = 0. (b) Casou`c >1/2 ouc <−1/2. Ici, det(M)>0. (c)Caso`u−1/2< c <1/2. Ici, det(M)<0. Puisqueqe,ivn´niatege,ivisastangaerurappt`atien’nsentpisoti{(1,1),(2,1),(1,2)}. Un the´ore`meducoursditquelasignaturedeqrppoersalevrseuomenedbree´nlrapsenodt (strictement)positivesetne´gativesdeM. Donc il y a au moins une valeur propre positive etunen´egative.Enfinonsaitquelede´terminantestleproduitdesvaleurspropres.On end´eduitque: – dansle cas (a), sign(q) = (1,1) et rang(q) = 2, – dansle cas (b), sign(q) = (1,2) et rang(q) = 3, – dansle cas (c), sign(q) = (2,1) et rang(q) = 3. Exercice 3 Soitfle’ismelin´ndomorphtnav:riaeiuse 3 3 f:R→R (x, y, z)7→(2x+y+ 2z, x+ 2y+ 2z,2x+ 2y+ 5z). 3 On munitRdu produit scalaire canonique. 3 1.Justifierqu’ilexisteunebaseorthonorme´edeRruopserpnscotutidee´ceveruetorpsf.

3 La base canonique deRstee.onacuqinlacseriaduiteproourl´eeponmrtrohsaoenube De plus la matrice defdans cette base est   2 1 2   1 2 2 2 2 5 etcettematriceestsyme´trique.Onende´duitquefaripthunor´eme`eajduaotecuqiotnest du cours permet de dire qu’il existe une base de vecteur propres defthonorm´ee.uqeitsro 2. Encalculer une.

NotonsAlatrmaecicdeiire´tcaredeuqtsepollerlmecaynˆoO.pnsssulaucuectAmais on peutaussiremarquerque1estunevaleurpropre“e´vidente”deMcar   1 1 2   M−Id = 1 1 2 2 2 4

3

est de rang plus petit que 3. En fait cette matrice est de rang 1 ce qui nous montre que 1estunevaleurpropredemultiplicit´eg´eome´triqueaumoins2.(Enfait,samultiplicite´ estforce´ment2puisqueMest diagonalisable.) On peut obtenir l’autre valeur propre en utilisant la trace. En effet, la trace deMeits)9se(uqlasommedt´egal`asruelavsese propres (Math III) ce qui nous donne 7 comme autre valeur propre. Calculons pour commencerE 7 . C’est le noyau de la matrice suivante :   −25 1   1−5 2. 2 2−2 Par le calcul on trouve naturellement le vecteurv 7 = (1,1,2)∈E 7 . CommeE 7 est de dimension 1,{v 7 }en est une base. CalculonsE 1 . C’est le noyau de   1 1 2   1 1 2 . 2 2 4 3 AinsiE 1 est l’ensemble des (x, y, z)∈Rtels quex+y+ 2z= 0. En prenant par exemple x= 1 ety= 1, on obtient le vecteurv 1 = (1,1,−1))∈E 1 . J’aimerais maintenant un ′ ′ q soitdansEet vecteurv 1 ui 1 htronogoa`lav 1 . Notonsv= (x, y, z). On veut donc 1 x+y+ 2z= 0 etx+y−z= 0. ′ On en tirez= 0 etx=−y. On peut donc prendrev= (1,−1,0). 1 ′ me bilan,etvforment une base Comv 1 ,v 1 7 de vecteurs propres qui sont orthogonaux ′ ′ entre eux : en effetvetvle sont pcar 1 1 ar construction etv 7 asetrotogoh`lanv 1 etv 1 onsaitparlecoursquelesespacespropressontorthogonauxdeux`adeux.Ainsi,pour conclure il suffit de normer les vecteurs obtenus. Une base voulue est donc la suivante : n o 1 1 1 √ (1,1,−1), √ (1,−1,0), √ (1,1,2). 3 2 6 Exercice 4 SoitEun espace vectoriel sur un corpsk. Soitbean´libimeorefuneuusrtqimye´riserE. SoitF un sousespace vectoriel deEtel queF⊂ker(b). Onaimeraitd´efiniruneformebiline´aireb E/F comme suit : b:E/F×E/F→k E/F (X, Y)7→b(x, y) o`ux(resp.yedeeuclnouq´lmeneqte´nutse)X(resp.Y) i.e.x∈Eest tel quex¯ =X,x¯ d´esignantlaclassedexdansE/F(resp.y¯ =Y). 1. Montrerqueb E/F itcqpalnnapteue’in.ine(fiido´aetnibtse.eb E/F (X, Ypaspende´den) du choix d’unx∈Xet d’uny∈Y).

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