Lycée Albert CAMUS mars

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Lycée Albert CAMUS 28 mars 2012 BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S – ANNÉE 2011/2012 – Durée de l'épreuve : 4H - Coefficient : 9 (Spécialité) Les calculatrices sont AUTORISÉES Le candidat doit traiter les quatre exercices. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le barème est donné à titre indicatif. La feuille d'annexe est à compléter et à rendre avec la copie. L'exercice de spécialité (Exercice 1) est à rédiger sur une feuille à part (avec votre nom). 1/ 5 Tournez la page ??

  • boule noire

  • repère orthonormal

  • coordonnées des points d'intersection de la courbe cf avec les axes du repère

  • axe des abscisses


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Publié le 01 mars 2012
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Langue Français
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Lycée Albert CAMUS 28 mars 2012
BAC BLANC
DE MATHÉMATIQUES
SÉRIE S
– ANNÉE 2011/2012 –
Durée de l’épreuve : 4H - Coefficient : 9 (Spécialité)
Les calculatrices sont AUTORISÉES
Le candidat doit traiter les quatre exercices. La clarté des raisonnements et la
qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l’appréciation
des copies. Le barème est donné à titre indicatif.
La feuille d’annexe est à compléter et à rendre avec la copie.
L’exercice de spécialité (Exercice 1) est à rédiger sur une feuille à part
(avec votre nom).
1/ 5 Tournez la page ,→BAC BLANC ANNÉE 2011/2012 Spécialité
Exercice 1 Spécialité Maths. A rendre sur une feuille à part. t 5 points
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.
1 ) On considère l’équation notée (E) :
2n3x+7y = 10 où x et y sont des entiers relatifs.
a ) Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u+7v = 1.
En déduire une solution particulière (x ; y ) de l’équation (E).0 0
b ) Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E).
2 ) On considère l’équation notée (G)
2 2 2n3x +7y = 10 où x et y sont des entiers relatifs.
a ) Montrer que 100≡ 2 (modulo 7).
2 nDémontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x ≡ 2 (modulo 7).
b ) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Reste de la division 0 1 2 3 4 5 6
euclidienne de x par 7
Reste de la division
2euclidienne de 3x par
7.
nc ) Démontrer que 2 est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.
2/ 5BAC BLANC ANNÉE 2011/2012 Spécialité
Exercice 2 Équation différentielle t 5 points
Soit f la fonction définie sur par :
9
2x 3xf(x) = e −3e :
2
Partie A :
0 3xSoit l’équation différentielle (E) : y +2y = 3e .
3x1 ) Vérifier que la fonction g définie sur par g(x) =−3e est une solution de l’équation (E).
0 02 ) Résoudre l’équation différentielle (E) : y +2y = 0.
9 2x 03 ) En déduire que la fonction h définie sur par h(x) = e est une solution de (E).
2
4 ) En remarquant que f = g+h, montrer que f est une solution de (E).
Partie B :
On nommeC la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;~{;~|) d’unité 1 cm.f
Å ã
3
2x x1 ) Montrer que pour tout x de on a : f(x) = 3e −e .
2
2 ) Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en−∞.
3 ) Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f.
4 ) Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbeC avec les axes du repère.f
Exercice 3 Suites t 5 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
4
f(x) = 3− :
x+1
On considère la suite définie pour tout n∈ par :

 u = 40
 u = f (u )n+1 n
1 ) On a tracé, ci-dessous, la courbe C représentative de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[ et la
droiteD d’équation y = x.
a ) Sur le graphique ci-dessous, placer sur l’axe des abscisses, u ; u ; u et u . Faire apparaître les0 1 2 3
traits de construction.
b ) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (u )?n
2 ) Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1 ) b ).
a ) Étudier le sens de variation de f sur [0; +∞[.
b ) Pour tout entier naturel n, démontrer par un raisonnement par récurrence que :
• u > 1n
• u 6 un+1 n
c ) En déduire que la suite (u ) est convergente vers un réel l.n
d ) Quelle est la valeur de l? Justifier clairement.
3/ 5 Tournez la page ,→
R
R
R
N
RBAC BLANC ANNÉE 2011/2012 Spécialité
Exercice 4 Probabilité t 5 points
Un jeu consiste à tirer une boule d’un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches puis à lancer
un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n’est
pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner.
On appelle N l’événement «la boule noire a été tirée » et G l’événement «le joueur gagne».
1 ) a ) Traduire l’énoncé par un arbre pondéré.
b ) Démontrer que la probabilité de l’événement G est égale à 1/5.
c ) Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule noire?
2 ) Pour joueràcejeu,unemise dedépart demeurosestdemandée. (mest unnombreréelstrictement
positif). Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. S’il ne gagne pas mais qu’il a tiré la noire, le joueur
récupère sa mise. S’il ne gagne pas et qu’il n’a pas tiré la noire, il perd sa mise.
On considère la variable aléatoire X donnant le gain algébrique du joueur.
a ) Déterminer la loi de probabilité de X.
b ) Montrer que l’espérance mathématique de X est E(X) = 0;8−0;95m
c ) Pour que le jeu soit rentable, l’organisateur doit récupérer en moyenne 1;10 euro par partie.
Déterminer quelle est la mise qu’il doit alors demander à chaque joueur.
3 ) Soit n un entier naturel non nul. On joue n fois à ce jeu sachant qu’après chaque partie, la boule
est remise dans le sac. Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner
au moins une fois est strictement supérieure à 0;999.
4/ 5Nom : ........................... Classe : T°S ...
Annexe.
A rendre avec la copie.
Exercice 3 :
D
4
3
C2
1
−→
j
−→O−1 1 2 3 4 5i
−1
5/ 5