sujet Epreuve pratique de mathematiques Fiche eleve

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
sujet 001 Epreuve pratique de mathematiques Fiche eleve Expression du terme de rang n d'une suite recurrente Enonce On considere la suite recurrente (un) de premier terme u0 = 0 et telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2n? 11. 1. En utilisant un tableur ou une calculatrice calculer et representer graphiquement les 20 premiers termes de cette suite. Le nuage de points obtenus a-t-il une particularite ? Si oui laquelle ? Appeler l'examinateur pour une verification de la particularite trouvee. 2. n etant donne, on peut calculer la valeur de un si on connaıt la valeur de un?1. On voudrait a present pouvoir calculer, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel non nul n, la valeur de un sans pour autant connaıtre la valeur de un?1 . Pour cela il faudrait disposer d'une formule donnant un en fonction de n. (a) A l'aide des observations faites dans la premiere question, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel n, un en fonction de n. Appeler l'examinateur pour une verification de la formule trouvee. (b) Demontrer cette formule. Production demandee – Le nuage de points attendu dans la question 1 et la particularite trouvee a ce nuage. – La strategie de demonstration retenue a la question 2 ainsi que les etapes de cette demonstration.

• logiciel de construction graphique


• figure realisee avec le logiciel de geometrie dynamique


• eaux de pluies pour les deverser


• verification de la particularite trouvee


• logiciel de geometrie


• systeme de collecte des eaux de pluie sur la fac¸ade

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
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• Langue: Français

Extrait

sujet 001

´ Epreuvepratiquedemath´ematiques

Expression du terme de rangn d’unesuitere´currente

Fiche´el`e ev

´ Enonc´e Onconside`relasuitere´currente(u n ) de premier termeu 0 = 0 et telle que, pour tout entier natureln,u n+1 =u n + 2n−11.

1.Enutilisantuntableurouunecalculatricecalculeretrepr´esentergraphiquementles20 premierstermesdecettesuite.Lenuagedepointsobtenusa-t-iluneparticularite´?Sioui laquelle ?

Appelerl’examinateurpourunev´erificationdelaparticularit´etrouv´ee.

2.´tantdonne´,onpeutcalculerlavaleurdeu n si on connaˆıt la valeur deu n−1 . On voudrait ne `apr´esentpouvoircalculer,pourn’importequellevaleurdel’entiernaturelnonnuln, la valeur deu n ousputratcannaonrtıˆvaleuelaedrsnau n−1 . Pour cela il faudrait disposer d’une formule donnantu n en fonction den. ` (a)Al’aidedesobservationsfaitesdanslapremie`requestion,conjectureruneformule donnant, pour n’importe quelle valeur de l’entier natureln,u n en fonction den. Appelerl’examinateurpourunev´erificationdelaformuletrouve´e.

(b)De´montrercetteformule.

Productiondemande´e –Lenuagedepointsattendudanslaquestion1etlaparticularit´etrouve´e`acenuage. –Lastrat´egiedede´monstrationretenue`alaquestion2ainsiqueles´etapesdecetted´emonstration.

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´ sujet002Epreuvepratiquedemath´ematiquesFiche´el`eve

Recherched’unlieuge´ome´trique

´ Enonce´ Dans le planP, on donne quatre pointsO, A, BetCet un cercle (Γ) de centreO. Le pointMest un point quelconque variable sur le cercle (Γ). On associe au pointMl’unique −−−→ 0 −→−−→→−−− pointM 0 du planPra’lnfipiil´te´agee:´dM M=M A+M B+ 2M C. Ils’agitded´eterminerlelieug´eom´etriqueLdu pointM 0 qsroeleuueiloe´getm´quriupedntoil Mest le cercle (Γ). ` 1.(a)Al’aided’unlogicieldeg´eome´trieplaneconstruirelespointsO, A, BetC, le cercle (Γ) et un point libreMsur ce cercle. (b) Construire le pointM 0 ocssaae`i´M. Appelerl’examinateurpouruneve´rificationdelaconstructionfaite. (c) En observant plusieurs positions du pointMfaire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transformeMenM 0 ainsi que la nature du lieu g´eom´etriquedupointM 0 .

Appelerl’examinateurpourunev´erificationdelafigurere´alise´eetdelaconjecturefaite

2.(a)D´eterminerparlecalcullanaturedelatransformationduplanquitransformele pointMen le pointM 0 . (b)D´eterminerlelieuge´ome´triqueLdu pointM 0 .

Productiondemande´e –Lafigurere´alis´eeaveclelogicieldege´ome´triedynamique. – Le calcul permettant d’obtenir la nature de la transformation. –Lacaracte´risationdulieuge´ome´triquedeM 0 et sa justification.

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sujet 003

´ Epreuvepratiquedemathe´matiques

Proble`med’optimisation

Fichee´leve `

´ En ´ once Onde´cidedemettreenplaceunsyst`emedecollectedeseauxdepluiesurlafa¸caded’une maison.Surcettefa¸cade,deformerectangulaire,deuxtuyauxobliquesdoiventr´ecupe´rerles eauxdepluiespourlesde´verserdansuntuyauverticalaboutissant`aunr´eservoir. Ondonneci-dessousleplandecettefac¸adeainsiquequelquesdimensions,exprime´esenme`tre.

Sur ce plan : – [AM] et [BM]prreseltxuedese´netntuyauxpremiers – [M Huyatume`esioitrseneetelr]pe´r – (M Hde[ricetaide´maltse)DC]. On souhaite trouver la position du pointMusafrlcaa¸dedettcemeiaosqniuepmrtede minimiserlalongueurdestuyauxa`acheteretdonclade´pense`aeffectuer. On noteQldegonarrothjoetl´eepoMsur (BC) et on prend comme variable la mesure en \ radian de l’angle aiguBM Q=θ.

1.(a)Utiliserunlogicieldeg´eome´triepoursimulerlasituationde´critepr´ec´edemment (b)End´eduireunevaleurapproch´eeaucentie`medelavaleurdeθqui rend minimale la longueurdestuyaux.De´terminer,grˆaceaulogiciel,unevaleurapproch´eeaucentie`me de la longueur minimale totale des tuyaux.

Appelerl’examinateurpouruneve´rificationdelaconstructionetdesr´eponsestrouv´ees.

2.Ond´efinitlafonctiong:θ→g(θ) = 2M A+M Hsur l’intervalle ]0; π [ . 2 3/32