Table desmatières I Définition II Sens de variation courbe représentative III Propriétés algébriques IV Fonction x ln u x

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Fonction logarithme népérien Table desmatières I Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Sens de variation, courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 III Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 IV Fonction x 7? ln[u(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Activité no 1 page 141 I Définition Définition On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, l'unique fonction telle que : • ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ • ln(1)= 0 • Pour tout x > 0, ln?(x)= 1 x Remarque : on écrit souvent lnx à la place de ln(x).

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Fonction logarithme népérien
Table des matières I Définition1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Sensde variation, courbe représentative1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Propriétésalgébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 IV Fonctionx7→ln[u(x)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
o Activité n1 page 141 I Définition Définition On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, l’unique fonction telle que : ln est définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ ln(1)=0 1 Pour toutx>0, ln (x)= x Remarque: on écrit souvent lnxà la place de ln(x). Remarque(: une expression de la forme lnu(x)) est définie si, et seulement si,u(x)>0
Exemples : ln(x3) est définie si, et seuelement si,x3>0 donc pourx>3. ln(1x) est définie pour 1x>0, donc pourx<1. µ ¶ 1 1 3 2 22 ln(x+x+1) est définie surRcarx+x+1>0 pour toutx,x+x+1=x+ +>0 2 4
II Sensde variation, courbe représentative 1.Sens de variation : 1 ′ ′ On a vu que : ln (x)=; commex>0, ln (x)>0 donc la fonction ln eststrictement croissantesur x ]0 ;+∞[.
1
2.Tableau de variations La tabeau de variations est : x0+∞ f(x)+ +∞ ✒ f(x) −∞ 3.Signe On a vu dans la définition que ln(1)=0. On en déduit que : si 0<x<1, ln(x)<0 six>1, lnx>0 4.Équations et inéquationsSoientaetbdeux nombres strictement positifs. lna=lnbest équivalent àa=b. lna<lnbest équivalent àa<b. lna>lnbest équivalent àa>b. 5.Nombre e On appelle e le nombre (unique) dont le logarithme vaut 1 (notation due à Euler) :ln(e)=1. Valeur approchée : e2, 718 6.Courbe représentative 5 4 3 y=lnx 2 1 1 0 O 1e -1 -2 -3 -4 -1 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Équations du type :ln(u(x))=0 ln(u(x))=0ln(u(x))=ln 1u(x)=1
Exemple :ln(x3)=0 équivaut àx>3 etx3=1 doncx=4
Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs ; il faut alors queu(x)=v(x).
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III Propriétésalgébriques Propriétés aetbsont deux nombres strictement positifs ;nest un entier relatif. 1.Produit :ln(ab)=lna+lnb µ ¶ 1 2.Inverse :ln= −lna a ³ ´ a 3.Quotient :ln=lnalnb b ¡ ¢ n 4.Puissances :lna=nlna 1 5.Racine carrée :lna=lna 2 Exemples : 9 ln 6=ln(2×3)=ln 2+ln 3ln(10 )=9 ln 10(remarque : ln10donc2, 3, ¡ ¢ 9 ln 1020, 7) 1 ln= −ln 3 1 3 ln 5=ln 5 2 2¡ ¢ 3 ln=ln 2ln 3 ln e=3 ln e=3×1=3 3 IV Fonctionx7→ln[u(x)] Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalleI. On considère la fonctionf, composée deusuivie de la fonction ln :f=lnu. fest définie parf(x)=ln(u(x)). ′ ′ u u(x) ′ ′ fest dérivable etf=donc, pour toutxI,f(x)= u u(x) Exemple : 2 Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x+x+1). 2f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu x=2x+1. u(x)2x+1 Alorsf(x)= = 2 u(x)x+x+1
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