Table desmatières I Définition II Variations III Caractérisation IV Comment tracer graphiquement une fonction affine

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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
Fonctions affines Table desmatières I Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 III Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 IV Comment tracer graphiquement une fonction affine ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 IV.1 Avec deux points : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 IV.2 Avec le coefficient directeur . . .

  • sement ∆x de la variable

  • dire ∆y

  • axe des abscisses

  • coefficient directeur

  • ∆x

  • accroissement ∆y de l'image

  • x1

  • représentation graphique

  • ∆y


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Fonctionsaffines
Tabledesmatières
I Définition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
III Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
IV Commenttracergraphiquementunefonctionaffine? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
IV.1 Avecdeuxpoints: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
IV.2 Aveclecoefficientdirecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I Définition:
Définition
Soientm etp deuxréels.Lafonction f,définiesurRpar: f(x)?mx?p estunefonctionaffine.
m estlecoefficientdirecteuretp l’ordonnéeàl’origine.
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, passant par le point de coordonnées
(0; b).
II Variations
Soit f unefonctionaffinedéfiniepar: f(x)?mx?p.
f estcroissantesi,etseulementsi,m?0. f estconstantesi,etseulementsi,m?0.
f estdécroissantesi,etseulementsi,m?0.
Démonstration:
Soientdeuxnombresquelconquesx etx ,avecx ?x .1 2 1 2
f(x )?f(x )?m(x ?x ).Commex ?x estpositif, f(x )?f(x )estpositifsim?0(f estalorscroissante),2 1 2 1 2 1 2 1
constantsim?0etnégatif(donc f décroissante)sim?0.
III Caractérisation
Théorème
f estunefonctionaffinesi,etseulementsi,l’accroissementΔy del’imageestproportionnelàl’accrois-
sementΔx delavariable.
Δy f(x )?f(x )2 1
Autrementdit,x etx étantdeuxréelsdistincts, ? ?m.1 2
Δx x ?x2 1
Démonstration:
f(x )?f(x )2 1
Si f estunefonctionaffine, ?m.
x ?x2 1
1Réciproque:
f(x )?f(x )2 1
Soit f unefonctiontelleque,pourtousx etx , ?m.1 2
x ?x2 1
f(x)?f(0)
Alors,enparticulier,pourx et0,ona: ?m d’où,enposant f(0)?b, f(x)?mx?p.
x
Δy
Interprétationgraphiquedem :m? doncΔ ?mΔ .y x
Δx
Sil’onprendΔ ?1,onaΔ ?m.x y
Autrementdit:sil’onsedéplacede1unitéparallèlementàl’axedesabscisses,onsedéplaceenmêmetemps
dem parallèlementàl’axedesordonnées.
5
4
3
Δ ?my
2
1
Δ ?1x
?1 1 2 3
?1
?2
?3
Remarque: si l’on se déplace dek unitésparallèlementà l’axe des abscisses, on se délace dansle même
tempsdekm unitésparallèlementàl’axedesordonnées.
IV Commenttracergraphiquementunefonctionaffine?
IV.1 Avecdeuxpoints:
2
onveutreprésentergraphiquementlafonctionaffine f :x7!Exemple: x?1.
3
Onsaitquelareprésentationgraphiquede f estunedroite.Pourtracerunedroite,ilsuffitdeconnaîtredeux
pointsdecelle-ci.
On calcule alors les coordonnées de deux points de cette droite, en esssayant d’avoir des coordonnées en-
tières,pourqu’ellessoientfacilesàplacer.
L’ordonnéeàl’originevaut1,doncladroitepasseparlepointdecoordonnées(0; 1).
On remarque qu’il suffit de prendre x multiple de 3 (x pas trop proche de 0, pour accroître la précision du
tracé.)
Onremplituntableau:
x 0 9
2 2
y? x?1 1 ?9?1?7
3 3B7
6
5
4
3
2
A1
0?2 ?1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
?1
?2
IV.2 Aveclecoefficientdirecteur
Exemple:représentergraphiquementlafonctionaffinex7!2x?3.
L’ordonnéeàl’origineest3,doncladroitepasseparlepointAdecoordonnées(0; 3).
Δy
Lecoefficientdirecteurest2,donc2? ,c’est-à-direΔy?2Δx.
Δx
OnchoisitparexempleΔx?1;onobtientalorsΔy?2?1?2.
EnpartantdeA,onsedéplacede1enabscisses,etalorsde2enordonnées.
7
6
B
5
4 Δy?2
A
3
Δx?1
2
1
0
?2 ?1 1 2 3 4 5
?1
?2
bbb