Table desmatières I Radian II Cosinus et sinus d

Table desmatières I Radian II Cosinus et sinus d'un angle x III Cercle trigonométrique

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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
Trigonométrie Table desmatières I Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Cosinus et sinus d'un angle x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 III Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

  • tour de cercle complet de longueur

  • sens direct

  • longueur sur la droite

  • infinité de tours de cercle

  • rad pi

  • pi radians

  • cercle trigonométrique

  • longueur du segment

  • angle au centre correspondant


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Trigonométrie
Tabledesmatières
I Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Cosinusetsinusd’unanglex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
III Cercletrigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1Activités2et3page142
I Radian
Définition
OnappellecercletrigonométriquelecercledecentreO etderayon1unité.
Soit C un cercle trigonométrique, muni d’un repère orthonormal³ ´!? !?
O ; i ; j .
!? ?!
Soit A le point tel que i ?OA etD la droite tangente au cercleC
passantparD.
SoitIlepointdeladroiteD telqueAI=1(Iau-dessusdeA).
OndéfinitainsiunrepèresurD.
OnenrouleladroiteD autourducercleC,lademi-droitesupérieure
Ms’enroulant dans le sens inverse de rotation des aiguilles d’une
montre,qu’onappelleaussisensdirectousenstrigonométrique.
0 xSoit M un point quelconque deD ; il vient se placer après enroule- M xI0mentenM .
!? !?
La longueur du segment [AM] surD est alors égale à longueur de j j
0—l’arcdecercle AM
A0— !?Si AM ?x, la longueur de l’arc de cercle AM mesure aussi x unités O
iƒetl’angleaucentrecorrespondant AOM mesurex radians.
C
Définition
1 radian est donc la mesure de l’angle au centre d’un arc de
cercledelongueur1unité.
Remarque: quand on fait un tourde cercle completde longueur2π
(périmètre du cercle), l’angle au centre correspondant mesure donc
2πradians.
Parconséquent,onalacorrespondance:360˚=2πradians.
Angleen˚ 0˚ 30deg 45˚ 60˚ 90˚
π π π π
Angleenradians 0rad rad rad rad rad
6 4 3 2
Onpeutvisualiserl’enroulementdeladroitesurlecercleici.
Remarques:
? ladroiteD étantillimitée,quandonl’enrouleautourducercle,elledécrituneinfinitédetoursdecercle.
? TouslespointsdeD espacésd’unelongueurégaleà2πseretrouventaumêmeendroitsurlecercletrigono-
métrique;àumêmepointducercletrigonométriquecorresponddoncuneinfinitéd’angles,deuxmesures
consécutivesdifférantde2πradians.
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bbbII Cosinusetsinusd’unanglex
³ ´!? !?
Soit M un point du cercle trigonométriquemuni d’un repère orthonormal O ; i ; j et soit x une me-
ƒsureenradiansdel’angle AOM.
Définition
³ ´!? !?
Onappellecosinusdex etsinusdex lescoordonnéesdupointM danslerepère O ; i ; j .
Onnote:M(cos(x); sin(x))
Remarques:
ÀchaquepointM ducerclecorrespondentplusieursangles;eneffet,quandonenrouleladroiteD autourdu
cercleC, des points viennent se superposer, espacés d’une longueur sur la droite de 2π; les angles diffèrent
doncde2π.
Six estunemesuredel’angleenradians,x?2πaussietplusgénéralementx?2kπ,k2Z.
Onécritsouventcosx etsinx àlaplacedecos(x)etsin(x).
Onadonccos(x?2π)?cosx etsin(x?2π)?sinx pourtoutx réel.
Onditquelesfonctionscosetsinsontpériodiques,depériode2π.
M
sin(x)
!?
j
x
!?
i
cos(x)O
!?
j
!? πO π 3π 2πi
2
2
sinus
cosinus Page3/4III Cercletrigonométrique
π
p 2 π3
p 32 π2
42
π1
62
π 0p p
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2 2 2
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