TS Correction du devoir maison n° Année Exercice ou ou E Résolvons l

TS Correction du devoir maison n° Année Exercice ou ou E Résolvons l'équation E

-

Documents
4 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
TS 3 Correction du devoir maison n° 5 Année 2010/2011 Exercice 1 : 1) 2 2 2 0 2 0 ou 2 2 0 2 ou 2 2 0 (E) Résolvons l'équation (E) : ∆ 4 2 4 1 2 4 0 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆ 1 et 1 . Ainsi les solutions dans de l'équation 2 2 2 0 sont : 2, 1 et 1 . 2 2 , √2 1√2 1 √2 √2 !cos ! % 4 & sin ! % 4 && √2 ) + , √2) La forme exponentielle de ces nombres est : 2 , √2) + √2) 2) a) • - . /, donc -0 1212 0 -0 est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l'ensemble (E). • 3 4 5 . /+ 11 est un imaginaire pur 1ère méthode : . / + 11 est un imaginaire pur ssi . / + 11 0 ou arg ! 11& 9%: ssi . / et 2 0 ou ;<3======>, ?3======>@ 9%: ssi 2 ou M appartient au cercle de diamètre 9

  • vq ?

  • b10 bb

  • a' b'

  • privé du point a'

  • modèle discret

  • √2


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 10
Langue Français
Signaler un problème
TS 3Correction du devoir maison n° 5Année 2010/2011 Exercice 1 : 1)  2 0 2  2  0    2ou2  2  0    2 ou 2  2  0(E) Résolvons l’équation (E) :   ∆  4 2 4  1  2  4  0L’équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆    1  et1  .    2  2  0 2 1   1   Ainsi les solutions dansde l’équation  2sont :,et. 1 1% %    √2+   √2  ))  2  2,  √2   √2!cos !&   sin !&&   4 4 √2 √2 La forme exponentielle de ces nombres est :   2 , √2 + √2 ))      2) a) •- /, donc-0   est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l’ensemble (E). -     +  /est un imaginaire pur  ère 1 méthode:      + +0 arg! & % /est un imaginaire pur ssi  / ou    = =  2  0ssi /etou<, ?@ %ssi  2ou M appartient au cercle de diamètre<?privé de A et B. ssi M = B ou M appartient au cercle de diamètre<?privé de A et B. ssi M appartient au cercle de diamètre<?privé de A. (E) est donc le cercle de diamètre<?privé de A. ème 2 méthode: Soit un complexeetA  Bson écriture algébrique. Si  1  , alors   2A  B  2A  B  2A  B  2A  1  B  1       1  A  B  1  A  1  B  1A  1 B  1   A A  B 3B  2  A  B  2   A  1 B  1 Ainsi  1  etDest un imaginaire pur ssi  1  etE  0G G F FHI JIH   ssi  1  et 0ssi  1  etA  B 3B  2  0A G G F HI    J L ssi1 1;A; Bet 2  0!A &  !B &  ) )    JssiA; B1 1;et& !B !A &     JRemarquons que le coupleA; B 1;1vérifie l’équation& & !B !A .   JAinsi l’ensemble (E) est le cercle de centreM !; &et de rayonprivé du point A.  √  b)  N    1 et 1O O   1  et|  2|  |  1  |    <et?  <L’ensemble (F) est donc la médiatrice du segment [AB].
S J TJ TJ TJ  Q Q   , soit &   !2       &    !G 3) a)- Ω -Ω -Ω -     3 53 1      2  Q -2 22 2 S J T JJ TJ T Q  G V ΩV, soitQ    V ΩV   1     &   !     3 55 3      1  Q V 2 22 2 b) Comme (E) est le cercle de centre I et de rayonprivé du point A, l’image par R de (E) est le cercle de √ centre I’, de rayonprivé du point A’, image de A par la rotation R. √ J TJ TJ T J Remarque :Q   !1        / Ω/ Ω &   !  &     3 51 3      3  2Q / 2 22 2 Comme (F) est la médiatrice du segment [AB], l’image de (F) par la rotation R est la médiatrice du segment [A’B’].
Exercice 2 : Partie A : un modèle discret 1) a) Comme produit de deux fonctions dérivables sur0; 20,West dérivable sur0; 20.     Pour tout20A  0;,WA  2A A, doncW A  2 A.  T W A X 0 A  0;20et2 A X 020 A 0;etA  1010 0; AT CommeW0  W20  0etW10  10, on obtient le tableau de variation suivant : A 010 20 Signe deW A0 + 10 Variation deW0 0
b) Le minimum deWest donc 0, et le maximum 10. On a bien, pour toutA  0;20,10WA  0;. c)
Z 0\ ]\ ]\ 10 2) Pour tout entier naturelY, notons[la proposition : «[ [H» Montrons, que, pour tout entier naturelY,Z[est vraie.  L ] 1  1,9 Initialisation : 1et]  1  20.   0 \ 1 \ 1,9 \ 10Z Or .Doncest vraie. Y  _0 \ ]\ ]\ 10 Hérédité :Soit .Supposons queZ[est vraie, c’est-à-dire[ [H, et montrons qu’alors Zest vraie, c’est-à-dire\ 10\ ]0 \ ]. [H [H[H \ ]\ Comme0 \ ][ [H10et commeWest strictement croissante sur0; 10, on obtient :  \ W100 \ ]\ ]\ 10 W0 \ W] \ W][H, soit[H [H. [ Z [Hest donc vraie. Y \ Conclusion :Pour tout entier naturel,0 \ ][][\ 10. H ]  3) Notons L la limite de la suite[ [`. ]  La suite[H [`converge également vers L. CommeWest continue en L (car continue sur0; 20), on obtient, par passage à la limite dans l’expression W]][H [, que L vérifie :à  Wà, soità à20  à, ou encoreà10à  20à  10à  20à à àà  10  0  à  0ouà  10. ] ] 1 à 10 Comme la suite[ [`est croissante avec., on obtient Partie B : un modèle continu 1)yest solution de (E) si et seulement siBest dérivable sur0; ∞etB B10  B CommeBne s’annule pas sur0; ∞et est dérivable sur0; ∞, est dérivable sur0; ∞et ne I s’annule pas sur0; ∞. La réciproque est également vraie. I De plus . G I 1  B10 B 1 110 11 11 1  20 B B10  B    1    20 B20 B2 B20 220 Les calculs précédents sont valables carBne s’annule pas sur0; ∞. Ainsiyest solution de (E) si et seulement sizest solution de l’équation différentielle : 1 1  :    .2 20
   FGh F b)a pour solu G G tion les fonctionsA e f, (oùfest un réel quelconque), soitA e f.  G Oryest une solution de (E) qui ne s’annule pas sur0; ∞si et seulement si est solution de l’équation I différentielle .    F G Les solutions de (E) vérifient donc :e f: A . I    Elles sont donc de la formeA eouA e, avecfun réel quelconque.   jk Hjk H G G h  2)est solution de (E) etg(0) = 1 ssi il existe un réelftel queA etg(0) = 1   jk H G  L Commeg(0) = 1, on obtient g(0)1 , soitf . jH   Pour toutA  0,A .   G Lk H  F 3)  10 avec 1pA  9. G ô ô pétant dérivable sur0; ∞et ne s’annulant pas sur0; ∞,est dérivable sur0; ∞et 10 G ô   F Or, pour toutA  0,p A  9 !&  . G Donc, pour toutA  0, 9 F  F 45 2  A  10      F F   9 1 9 1   F F Pour toutA  0,045 Xet!9 1& X0, donc A X 0. G G est donc strictement croissante sur0; ∞.    F F F 4)lim  lim 0, donclim 9 1  1et 10lim A. G G FHt Ft FHtFHt Interprétation graphique : La courbe deadmet une asymptote horizontale d’équationB  10. Interprétation « concrète » : Le nombre de foyers possédant un écran plat tend vers 10 millions sans jamais atteindre ce nombre. 5) On chercheApour queA X 5.  G  LkH   F A X 5  A  0 + G OrA  0+ 9X 5  A  0 +  1  2  T Lk H G 1 11 1  F A X 5  A  0 +  A  0+ A ln  A  0 + A X 2ln   A X 2ln 99 29 9 Oru 4,42 ln 9. Le nombre de foyers possédant un tel équipement devrait dépasser 5 millions à partir de 2010.