TS Correction du devoir maison n° Année Exercice ou ou E Résolvons l'équation E

Dom_Non_Admin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
TS 3 Correction du devoir maison n° 5 Année 2010/2011 Exercice 1 : 1) 2 2 2 0 2 0 ou 2 2 0 2 ou 2 2 0 (E) Résolvons l'équation (E) : ∆ 4 2 4 1 2 4 0 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆ 1 et 1 . Ainsi les solutions dans de l'équation 2 2 2 0 sont : 2, 1 et 1 . 2 2 , √2 1√2 1 √2 √2 !cos ! % 4 & sin ! % 4 && √2 ) + , √2) La forme exponentielle de ces nombres est : 2 , √2) + √2) 2) a) • - . /, donc -0 1212 0 -0 est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l'ensemble (E). • 3 4 5 . /+ 11 est un imaginaire pur 1ère méthode : . / + 11 est un imaginaire pur ssi . / + 11 0 ou arg ! 11& 9%: ssi . / et 2 0 ou ;<3======>, ?3======>@ 9%: ssi 2 ou M appartient au cercle de diamètre 9

• vq ?


• b10 bb


• a' b'


• privé du point a'


• modèle discret


• √2

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Nombre de lectures: 11
• Langue: Français

Extrait

TS 3Correction du devoir maison n° 5Année 2010/2011 Exercice 1 :   1)   2  0  2  2  0    2 ou2  2  0    2 ou 2  2  0(E) Résolvons l’équation (E) :   ∆  4 2 4  1  2  4  0 L’équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆     1  et  1  .      2  2  0  2 1   1   Ainsi les solutions dansde l’équation   2 sont :  ,  et  . 1 1% %      √2+   √2  ))  2  2,  √2   √2!cos !&   sin !&&    4 4 √2 √2 La forme exponentielle de ces nombres est :      2 , √2 + √2  ))          2) a) • - / , donc - 0      est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l’ensemble (E). -       + •  / est un imaginaire pur  ère 1 méthode:      + +0 arg! &  % / est un imaginaire pur ssi   /  ou     = =  2  0  ssi  / etou<, ?@  %  ssi  2ou M appartient au cercle de diamètre <? privé de A et B. ssi M = B ou M appartient au cercle de diamètre <? privé de A et B. ssi M appartient au cercle de diamètre <? privé de A. (E) est donc le cercle de diamètre <? privé de A. ème 2 méthode: Soit un complexeetA  Bson écriture algébrique. Si  1  , alors   2A  B  2A  B  2 A  B  2A  1  B  1         1  A  B  1   A  1  B  1 A  1 B  1   A A  B 3B  2  A  B  2    A  1 B  1 Ainsi  1  etDest un imaginaire pur ssi  1  et E  0 G G F FHI JIH   ssi  1  et 0ssi  1  etA  B 3B  2  0A  G G F HI    J L ssi1 1; A; B et 2  0!A &  !B &   ) )    J ssi A; B 1 1;et& !B !A &       J Remarquons que le couple A; B  1;1vérifie l’équation& & !B !A .    J Ainsi l’ensemble (E) est le cercle de centreM !; &et de rayonprivé du point A.  √  b)   N    1  et 1O O   1  et |  2|  |  1  |     <et?  < L’ensemble (F) est donc la médiatrice du segment [AB].

S J TJ TJ TJ    Q Q     , soit &   !2         &    ! G 3) a) -   Ω -Ω -Ω -Ω      3 53 1      2   Q - 2 22 2 S J T JJ TJ T   Q    G V Ω  V  Ω  , soit Q      V ΩV  Ω     1      &   !      3 55 3      1   Q V 2 22 2  b) Comme (E) est le cercle de centre I et de rayonprivé du point A, l’image par R de (E) est le cercle de √  centre I’, de rayonprivé du point A’, image de A par la rotation R. √ J TJ TJ T J Remarque : Q    !1          / Ω  / Ω  &   !  &      3 51 3      3  2 Q / 2 22 2 Comme (F) est la médiatrice du segment [AB], l’image de (F) par la rotation R est la médiatrice du segment [A’B’].

Exercice 2 : Partie A : un modèle discret 1) a) Comme produit de deux fonctions dérivables sur 0; 20 ,West dérivable sur 0; 20 .     Pour tout 20A  0; , WA  2A  A, donc W A  2  A.  T   W A X 0 A  0;20 et2 A X 0 20  A  0; etA  10 10 0;  A T Comme W0  W20  0 et W10  10 , on obtient le tableau de variation suivant : A  010 20  Signe deW A0 +  10 Variation deW 0 0

b) Le minimum deWest donc 0, et le maximum 10. On a bien, pour tout A  0;20 , 10WA  0; . c)

Z 0\ ]\ ]\ 10 2) Pour tout entier naturelY, notons [ la proposition : « [ [H » Montrons, que, pour tout entier naturelY,Z [ est vraie.  L ]  1   1,9 •Initialisation :   1et]   1  20 .    0 \ 1 \ 1,9 \ 10Z Or .Donc  est vraie. Y  _0 \ ]\ ]\ 10 •Hérédité :Soit .Supposons queZ [ est vraie, c’est-à-dire [ [H , et montrons qu’alors Zest vraie, c’est-à-dire\ 10\ ]0 \ ]. [H [H[H \ ]\ Comme0 \ ] [ [H 10et commeWest strictement croissante sur 0; 10 , on obtient :  \ W100 \ ]\ ]\ 10 W0 \ W] \ W] [H , soit [H [H . [ Z [H est donc vraie. Y \ •Conclusion :Pour tout entier naturel,0 \ ] [ ] [ \ 10. H ]  3) Notons L la limite de la suite [ [` . ]  La suite [H [` converge également vers L. CommeWest continue en L (car continue sur 0; 20 ), on obtient, par passage à la limite dans l’expression    W] ] [H [ , que L vérifie :à  Wà, soità à20  à, ou encoreà10à  20à    10à  20à à  àà  10  0  à  0 ouà  10. ]  ] 1 à 10 Comme la suite [ [` est croissante avec  ., on obtient Partie B : un modèle continu   1)yest solution de (E) si et seulement siBest dérivable sur 0; ∞ etB  B10  B   CommeBne s’annule pas sur 0; ∞ et est dérivable sur 0; ∞ , est dérivable sur 0; ∞ et ne I s’annule pas sur 0; ∞ . La réciproque est également vraie. I  De plus . G I 1  B10 B 1 110 11 11 1   20 B  B10  B     1      20 B20 B2 B20 220 Les calculs précédents sont valables carBne s’annule pas sur 0; ∞ . Ainsiyest solution de (E) si et seulement sizest solution de l’équation différentielle : 1 1   :      . 2 20

     F Gh  F b)    a pour solu G G tion les fonctionsA e f  , (oùfest un réel quelconque), soitA e f.  G  Oryest une solution de (E) qui ne s’annule pas sur 0; ∞ si et seulement si est solution de l’équation I différentielle   .      F G Les solutions de (E) vérifient donc :e f: A . I    Elles sont donc de la formeA e  ouA e  , avecfun réel quelconque.      jk Hjk H G G h  2)est solution de (E) etg(0) = 1 ssi il existe un réelftel que A   etg(0) = 1   jk H G  L Commeg(0) = 1, on obtient g(0)1 , soitf . jH   Pour toutA  0, A   .   G Lk H    F 3)  10 avec 1 pA  9 . G ô ô  pétant dérivable sur 0; ∞ et ne s’annulant pas sur 0; ∞ ,est dérivable sur 0; ∞ et 10  G ô    F  Or, pour toutA  0, p A  9  !&  . G  Donc, pour toutA  0,   9  F  F    45  2  A  10        F F   9 1 9 1     F F  Pour toutA  0,045 Xet!9 1& X0, donc  A X 0 . G G est donc strictement croissante sur 0; ∞ .    F F F 4)lim  lim 0, donclim 9 1  1et 10 lim A . G G FHt Ft FHtFHt Interprétation graphique : La courbe deadmet une asymptote horizontale d’équationB  10. Interprétation « concrète » : Le nombre de foyers possédant un écran plat tend vers 10 millions sans jamais atteindre ce nombre. 5) On chercheApour que A X 5 .     G  LkH   F A X 5  A  0 + G Or  A  0+ 9X 5  A  0 +  1  2    T Lk H G 1 11 1   F  A X 5  A  0 +   A  0+ A ln  A  0 + A X 2ln   A X 2ln 9 9 29 9 Oru 4,42 ln 9. Le nombre de foyers possédant un tel équipement devrait dépasser 5 millions à partir de 2010.