TS3 Révisions de la semaine du juin Année

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
TS3 Révisions de la semaine du 06 juin Année 2010/2011 EXERCICE 1 Dans le plan complexe (P ) muni d'un repère orthonormal direct (O ; ~u ;~v) d'unité graphique 4 cm, on considère le point A d'affixe a =?1 et l'application f , du plan (P ) dans lui·même, qui au point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M ? = f (M) d'affixe z ? tel que : z ? = iz z+1 . 1. Affixe des points M tels que M ? =M : z ? = z ?? z = iz z+1 ?? z(z+1)= izetz 6= ?1?? z2+ z(1? i)etz 6= ?1 z ? = z ?? z = iz z+1 ?? z (z? (?1+ i))etz 6= ?1?? z = 0 ou z =?1+ i Les points d'affixes 0 et ?1+ i sont les points qui vérifient M ? =M . 2. Pour tout point M distinct de A et de O, on a : OM ? = ? ? ? ? iz z+1 ? ? ? ? = |iz| |z+1| = |i| .

  • om ?

  • vecteur directeur

  • équation du plan abc

  • ga2

  • boule blanche

  • iz z

  • e2x

  • ??

  • repère orthonormal direct


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TS3 Révisionsdelasemainedu06juin Année2010/2011
EXERCICE1
~ ~Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal direct (O;u;v) d’unité graphique 4 cm, on considère le
pointAd’affixea=−1etl’application f,duplan(P)danslui·même,quiaupointM d’affixez,distinctdeA,associe
′ ′lepointM = f(M)d’affixez telque:
iz′
z = .
z+1
iz′ ′ 21. AffixedespointsM telsqueM =M :z =z⇐⇒z= ⇐⇒z(z+1)=izetz6?−1⇐⇒z +z(1−i)etz6?−1
z+1
iz′
z =z⇐⇒z= ⇐⇒z(z−(−1+i))etz6?−1⇐⇒z=0ouz=−1+i
z+1
′Lespointsd’affixes0et−1+isontlespointsquivérifientM =M.
2. PourtoutpointM distinctdeAetdeO,ona:
? ?
? ?iz |iz| |i|.|z| OM′ ? ?OM = = = =? ?z+1 |z+1| |z+1| AM
? ?? ?−−→ iz→− ′u, OM =Arg =Arg(iz)−Arg(z+1) [2π]
z+1
=Arg(i)+Arg(z)−Arg(z+1) [2π]
? ? ? ? ? ? ? ?π π−−→ −−→ −−→ −−→→− →− →− →−
= + u, OM − u, AM = + u, OM + AM, u [2π]
2 2
? ? ? ?π π−−→ −−→ −−→ −−→
= + AM, OM = + MA, MO [2π]
2 2
1
3. (a) SoitB lepointd’affixeb=− +i.(Voirfigureenfind’exercice)
2
′ ′(b) Calculdel’affixeb dupointB imagedupointB par f :
? !
1
1i − +i
−1− i2 −2−i (−2−i)(1−2i) −4 3′ 2b = = = = = + i
2 21+2i 1 +2 5 51 1
− +i+1 +i
2 2
′B appartientaucercle(C)decentreO etderayon1,car:
s r? ? ? ? ? ?2 2? ?−4 3 −4 3 16+9? ?+ i = + = =1⇐⇒OM=1⇐⇒M∈C? ?5 5 5 5 25
OM ′
(c) SiM estsurlamédiatrice(∆),onaOM=AM⇐⇒1= =OM .
AM
′AinsiM estsurlecercle(C)decentreO etderayon1.
(d) SoitC lepointtelqueletriangle AOC soitéquilatéraldirect.Alors,C appartientàlamédiatrice(∆).
? ? ? ?−−→ π −→ −→′ →− ′
LepointC estdoncsurlecercle(C)etona u, OC = + CA, CO [2π].
2? ? ? ?−−→ −→ −→ π→−On trace le pointC vérifiant u, OC = CA, CO = [2π], à l’intersection du cercle (C) et du cercle1 1
3
′decentreI etderayon1.Ontracelaperpendiculaireà(OC )enO.Ellecoupelecercle(C)enC .1
4. Danscettequestion,onseproposededéterminer,pardeuxméthodesdifférentes,l’ensemble(Γ)despointsM
′distinctsde A etdeO dontl’imageM par f appartientàl’axedesabscisses.
(a) Onposez=x+iy avecx ety réelstelsque(x, y)6?(−1, 0)et(x, y)6?(0, 0).
2 2 2 2? ?i(x+iy) −y+ix (−y+ix)(x+1−iy) −y+i(x +y +x) x +y +x′ ′z = = = = ; d’oùIm z =
2 2 2 2 2 2x+iy+1 (x+1)+iy (x+1) +y (x+1) +y (x+1) +y
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M appartientàl’axedesabscissessietseulementsilapartieimaginairedesonaffixeestnulle,doncsiet
seulementsi
 ? ? ? ?2 2? 1 12 2 2x +y +x=0 x+ +(y−0) =
⇐⇒ 2 2(x;y)6?(−1;0)
(x ; y)6?(−1; 0)
? ?
1 1
Ainsi(Γ)estlecercledecentre − ;0 etderayon ,privédupoint A(−1; 0).
2 2
? ?−−−→
′ ′ →− ′(b) Géométriquement:M ∈(xx )avecM6?A etM6?O⇐⇒ u, OM =kπ(k∈Z)
Ainsi:
? ? ? ? π −−→ −−→ −−→ −−→ π
 + MA, MO =0+2kπ MA, MO =− +2kπ  ? ?2 2 π−−→ −−→
ou ⇐⇒ ou ⇐⇒ MA, MO = +kπ⇐⇒M∈C −{O;A}diamètre [AO]? ? ? ?  2π −−→ −−→ −−→ −−→ π + MA, MO =π+2kπ MA, MO = +2kπ
2 2
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EXERCICE2
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .
OnconsidèrelespointsA(1;−1; 4),B(7;−1;−2)etC(1; 5;−2).
     
6 0 −6
−→ −→ −→     1. (a) OntrouveAB 0 , AC 6 etBC 6 .
−6 −6 0
p pp p
2 2 2 2 2 2(b) Puisquelerepèreestorthonormal,AB= 6 +0 +(−6) =6 2,AC= 0 +6 +(−6) =6 2etp p
2 2 2BC= (−6) +6 +0 =6 2.p
AB=AC=BC=6 2doncletriangleABCestéquilatéral.
→− −→ −→→−(c) n .AB=1×6+1×0+1×−6=0donc n ⊥AB.
→− −→ −→→−
n .AC=1×0+1×6+1×−6=0donc n ⊥AC.
−→−→→− →−
n estunvecteurorthogonalàdeuxvecteurs AB etACnoncolinéairesduplan(ABC),donc n estorthogo-
nalauplan(ABC).
→−(d) Leplan(ABC)apourvecteurnormal n etpasseparA;iladmetuneéquationcartésiennedelaforme:
x+y+z+d=0,avecx +y +z +d=0soit1+(−1)+4+d=0 ⇐⇒ d=−4.A A A
Cequidonne:x+y+z−4=0
2. SoitD ladroitedereprésentationparamétrique

x = −2t
y = −2t−2 où t∈R.

z = −2t−3
 
−2
→− →− −2(a) LadroiteD apourvecteurdirecteur u =−2n.
−2
→− →−u et n sontcolinéaires,doncD estperpendiculaireauplan(ABC)
(b) SoitG,intersectiondeladroiteD etduplan(ABC).LescordonnéesdeGvérifientl’équationparamétrique
deD etl’équationduplanABC.
Parconséquent:
3
(−2t)+(−2t−2)+(−2t−3)−4=0quidonne−6t−9=0etdonc:t=− .
2
3
Enremplaçantt par− ,ontrouvequelescoordonnéesdeGsont:G(3; 1; 0).
2
? ?1 9 1 3 1 0
(c) (x +x +x )= =3=x ; y +y +y = =1=y et (z +z +z )= =0=z .A B C G A B C G A B C G
3 3 3 3 3 3
Lescoordonnéesdel’isobarycentredeA,BetCsontcellesdeGdoncGestl’isobarycentredeA,BetC.
3. SoitS lasphèredecentreGpassantparA.
(a) UneéquationcartésiennedelasphèreS est:? ?22 2 2 2(x−x ) + y−y +(z−z ) =R =GA (puisqueS passeparA),c’est-à-dire:G G G
2 2 2 2 2 2 2 2
(x−3) +(y−1) +z =GA avecGA =(1−3) +(−1−1) +(4−0) =24.
2 2 2
UneéquationcartésiennedeS estdonc:(x−3) +(y−1) +z =24
(b) Les coordonnées des points d’intersection de la droiteD et de la sphèreS vérifient chacune des deux
équations,doncsontsolutionsdusystème:

x=−2t
y=−2t−2
 z=−2t−3 2 2 2(x−3) +(y−1) +z =24
2 2 2 2 2Onendéduit:(−2t−3) +(−2t−2−1) +(−2t−3) =24,donc3(−2t−3) =24d’où(−2t−3) =8quis’écritp
2 2
(2t+3) −(2 2) =0. p p
−3−2 2 −3+2 2
Aprèsfactorisation,ontrouve:t = ett = .1 2
2 2
Onendéduitlescoordonnéesdesdeuxpoints:p ? ?p p p−3−2 2
Pourt = :E 3+2 2; 1+2 2; 2 2 .1
2 p ? ?p p p−3+2 2
Pourt = :F 3−2 2; 1−2 2;−2 2 .2
2
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EXERCICE3
1. Lejoueurtiredeuxfoissuccessivementetsansremiseunebouledel’urnedonconestensituationd’équipro-
babilité.
Lenombreinitialdeboulesestn+10,lejoueurchoisitunebouledonca(n+10)choixpossiblesetneremetpas
cettebouledansl’urnedonclenombredeboulespossibleslorsdusecondtirageest(n+9).
(a) Lorsd’untiragededeuxboules,
– soitlejoueurtiredeuxboulesblanches,etgagne4e
– soitlejoueurtireunebouleblancheetuneboulerouge,etgagne2−3=−1e
– soitlejoueurtiredeuxboulesrouges,etgagne−6e.
Silejoueurtireuneboulerougeaupremiertirage,l’urnecontient10boulesblanchesetn−1boulesrouges.
Silejoueurtireunebouleblancheaupremiertirage,l’urnecontient9boulesblanchesetn boulesrouges.
èmeNotonsR (respB )l’évènement«Onobtientuneboulerouge(respblanche)aui lancer.i i
Onobtientalorsl’arbredechoixsuivant:
er e1 tirage 2 tirage Gain
(n−1)/(n+9)
−6en R2R1
n+10
B2 −1e10/(n+9)
n/(n+9)
R2 −1e
10
B1n+10 B2 4e9
n+9
n 10 10 9 20n
p(X=−1)= × + × = .
n+10 n+9 n+10 n+9 (n+10)(n+9)
n n−1 n(n−1)
(b) p(X=−6)= × = .
n+10 n+9 (n+10)(n+9)
10 9 90
p(X=4)= × = .
n+10 n+9 (n+10)(n+9)
(c) E(X)=4p(X=4)+(−1)p(X=−1)+(−6)p(X=−6)donc
360 20n 6n(n−1)
E(X)= − − .
(n+10)(n+9) (n+10)(n+9) (n+10)(n+9)
2 2−6n +6n−20n+360 −6n −14n+360
E(X)= = .
(n+10)(n+9) (n+10)(n+9)
2(d) E(X)>0 ⇐⇒ −6n −14n+360>0.
2 2Etudionsl’inéquation−6x −14x+360>0encommençantparrésoudre−6x −14x+360=0(E).
202 2∆=14 +4×6×360=94 ,donclessolutionsde(E)sontx =−9, x = .1 2
3
Le trinôme est négatif sauf entre les racines, donc n étant un entier supérieur ou égal à 2, l’espérance
mathématiqueeststrictementpositivesi2?n?6.
2. Danscecas,onrépète20foisunemêmeexpériencealéatoiredefaçonindépendante.Laprobabilitéd’obtenir
10
une boule blanche pour un tirage donné est . Si on note Y la variable aléatoire donnant le nombre de
n+10
10
boulesblanchesobtenues,alorsY suitlaloibinomialedeparamètres20et .
n+10
Lesévènements«obteniraumoinsuneboulerougeaucoursdeces20tirages»et«obtenir20boulesblanches
? ?2010
aucoursdeces20tirages»sontcontrairesdonc:p=1− .
n+10
? ? ? ?20 2010 10
p>0,999 ⇐⇒ <1−0,999 ⇐⇒ <0,001
n+10 n+10
p10 10 10
20p>0,999 ⇐⇒ < 0,001 ⇐⇒ n+10> p ⇐⇒ n> p −10 ⇐⇒ n?5
20 20n+10 0,001 0,001
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Zk ? ?k−0,01x −0,01x −0,01k3. P(Z?k)= 0,01e dx= −e doncP(Z?k)=1−e .0
0
−0,01×50 −0,5(a) P(Z?50)=1−e =1−e doncP(Z?50)≈0,39.
P(50<Z?60)
(b) P(Z?60/Z>50)= .
P(Z>50)
Z60 ? ?60−0,01x −0,01x −0,5 −0,6P(50<Z?60)= 0,01e dx= −e =e −e .50
50
−0,5 −0,5P(Z?50)=1−e doncP(Z>50)=1−P(Z?50)=e ,
−0,5 −0,6e −e −0,1doncP(Z?60/Z>50)= =1−e .
−0,5e
EXERCICE4
PartieA
Onchercheàdéterminerl’ensembledesfonctions f,définiesetdérivablessurl’intervalle]0;+∞[,vérifiantlacondi-
′ 2 2xtion(E):pourtoutnombreréelx strictementpositif,xf (x)−f(x)=x e .
1. Soit une fonction f, définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[, vérifiant la condition (E), alors la fonction g
f(x)
définiesurl’intervalle]0;+∞[parg(x)= etdérivable(commequotientdedeuxfonctionsdérivablesdont
x
ladeuxièmenes’annulepas)etvérifie,pourtoutx de]0;+∞[:
? ?′ ′ 2 2xf(x) xf (x)−f(x) x e′ 2xg (x)= = = =e
2 2x x x
2. Ensembledesfonctionsdéfiniesetdérivablessurl’intervalle[0;+∞[quivérifientlacondition(E):
1 f(x) 1′ 2x 2x 2xSif vérifie(E),alorsg (x)=e ,puisg(x)= e +k= ,doncf(x)= xe +kx aveck∈R
2 x 2
Réciproquement:
1 1 1 12x ′ 2x 2x ′ 2x 2 2x 2x 2 2xSif(x)= xe +kx,alorsf (x)= e +xe +k,puisxf (x)−f(x)= xe +x e +kx− xe −kx=x e
2 2 2 2
1
3. Soit h une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ vérifiant la condition (E) et s’annulant en .
2
1 2xD’aprèslaquestionprécédente,ilexisteunréelk telqueh(x)= xe +kx.
2
? ?
1 1 1 1 e1h = × e +k =0⇐⇒k=−
2 2 2 2 2
1 e2xDonc,h(x)= xe − x.
2 2
PartieB
Onconsidèrelafonctionh définiesurl’intervalle[0;+∞[par
? ?1 e x2x 2xh(x)= xe − x= e −e
2 2 2
OndésigneparC sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal(O;~ı;~).
1. Signedeh(x):
2x étantpositif,h(x)estdusignedee −eet,commelafonctionexponentielleeststrictementcroissantesurR:
12x 2x 1
e −e?0⇐⇒e ?e ⇐⇒2x?1⇐⇒x?
2
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Ainsi,onobtient:
x 0 1/2 +∞
x/2 0 + +
2xe −e - 0 +
Signedeh(x) - 0 +
2. (a) Onpose:
′u (x)=1u(x)=x
1,ainsi conviennent.′ 2x 2xv (x)=e v(x)= e
2 ? ?
1
Lesquatrefonctionsci-dessusétantcontinuessur 0; ,ona,parintégrationparparties:
2
? ?1 ? ?1Z1 Z1
2 22 21 1 1 1 1 1 1 12x 2 2x 2xxe dx= xe − e dx= e− e = e− e+ =
2 2 4 4 4 4 4 40 00 0
Ainsi:
11 1 1 ? ?Z Z Z 2 22 1 2 2 e 1 1 e x 1 e 2−e2xh(x)dx= xe dx− xdx= × − = − = ≃−0,04489
2 2 2 4 2 2 8 16 160 0 0 0
? ?
1
(b) Lafonctionh étantnégativesurl’intervalle 0; ,l’intégralecalculéeplushautestnégative.
2
Ainsi, en unité d’aire, la valeur exacteA de l’aire de la partie du plan située en dessous de l’axe des abs-
cissesetaudessusdelacourbeC est: ? ?
? ?2−e e−2? ?A = =? ?16 16
EXERCICE5
2 −x1. (a) • Ona lim x =+∞et lim e =+∞,donc,parproduit:
x→−∞ x→−∞
lim f(x)=+∞.
x→−∞
n −x• Onsaitquepourn∈N, lim x e =0,donc lim f(x)=0.
x→+∞ x→+∞
(b) f estdérivablesurR,commeproduitdedeuxfonctionsdérivablessurRet
? ?
′ −x 2 −x −x 2 −xf (x)=2xe −x e =e 2x−x =e x(2−x)
−x ′Comme e >0, quel que soit x∈R, le signe de f (x) est celui du trinôme x(2−x), donc négatif sauf sur
]0; 2[.D’oùletableaudevariationsde f :
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x −∞ 0 2 +∞
′ − −+f (x) 0 0
+∞ −24e
f
0 0
2 −x(c) Letableaudevariationsmontreque f(x)?0,cequiestévidentd’aprèsl’énoncé(x ?0ete >0)
2. (a) LafonctionétantpositivesurR:
• sia<0,I(a)<0;
• sia=0,I(a)=0;
• sia>0,I(a)>0.
(b) Onpose:
? ?2 ′u(x) = x u (x) = 2x
⇒′ −x −xv (x) = e v(x) = −e
Touteslesfonctionsétantcontinues,onpeutintégrerparparties:
Za? ? ? ?a a2 −x −x 2 −xI(a)= −x e + 2xe dx= −x e +J(a).0 0
0
Pourcalculerl’intégrale J(a)onutiliseencoreuneintégrationparparties:
? ? ′
w(x) = 2x w (x) = 2
⇒′ −x −x
m (x) = e m(x) = −e
Touteslesfonctionsétantcontinues,onpeutintégrerparparties,donc
Za? ? ? ? ? ?a a a−x −x −x −xJ(a)= −2xe − −2e dx= −2xe − 2e .0 0 0
0? ? ? ?a2 −x −x −x −a 2FinalementI(a)= −x e −2xe +2e =e −a −2a−2 +20
? ?2a−aSoitI(a)=2−2e +a+1 .
2
1 a(c) Enmultipliantchaquemembrepar e ,
2? ? ? ?2 2 2a 1 a aa a a
I(a)=2−2 +a+1 ⇐⇒ e I(a)=e − −a−1=e − 1+a+ .
2 2 2 2
3. (a) Ilfautmontrerqu’ellesontunpointcommun(d’abscissezéro)etlamêmetangenteencepoint.
?
g(0) = h(0)
Ilfautdoncdémontrerque ′ ′g (0) = h (0)
Org(0)=1eth(0)=1.
′ x ′ ′ ′
D’autrepartg (x)=e ⇒g (0)=1eth (x)=1+x⇒h (0)=1.
LesdeuxcourbesC etP ontlamêmetangenteaupoint(0;1).
? ?21 a 1a a a(b) Onadémontréquepourtouta∈R, e I(a)=e − 1+a+ ,cequisignifieque e I(a)=g(a)−h(a).
2 2 2
1 aLadifférenceg(a)−h(a)estdusignede e I(a),doncdusignedeI(a),quiaétéobtenuàlaquestion2.a.
2
Doncsia<0,g(a)−h(a)<0,quisignifiequeC estsousP ;
Sia=0,lesdeuxcourbesC etP ontlepoint(0;1)commun;
Sia>0,C estaudessusdeP.
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EXERCICE6
1 1 1 3
1. D’aprèsladéfinitionu =u − u = + = .2 1 0
4 2 4 4
1
• Silasuiteétaitgéométrique,d’aprèslesdeuxpremierstermeslaraisonseraitégaleà− .
2? ?
1 1
Oru × − = 6?u ,donc(u )n’estpasgéométrique.1 2 n
2 2
1 3
• Silasuiteétaitarithmétique,d’aprèslesdeuxpremierstermeslaraisonseraitégaleà −(−1)= .
2 2? ?
3 4
Oru + = =26?u ,,donc(u )n’estpasarithmétique.1 2 n
2 2
Conclusion:lasuite(u )n’estniarithmétiquenigéométrique.n
1 1 1
2. (a) v =u − u = − ×(−1)=1.0 1 0
2 2 2
(b) Onapourtoutnatureln,
? ?
1 1 1 1 1 1 1 1
v =u − u =u − u − u = u − u = u − u = v .n+1 n+2 n+1 n+1 n n+1 n+1 n n+1 n n
2 4 2 2 4 2 2 2
1 1
(c) v = v signifiequelasuite(v )estunesuitegéométriquedepremierterme1etderaison .n+1 n n
2 2
? ?n1 1
(d) Onadoncquelquesoitn∈N, v = = .n n2 2
u −10
3. (a) w = = =−1.0
v 10
1
v + un nu un+1 2 n
(b) Onaw = = =2+ .n+1 1v vn+1 nvn
2
un
(c) Onapardéfinition =w ,doncl’égalitéci-dessuss’écrit:w =2+w .n n+1 n
vn
(d) L’égalitéprécédentemontrequelasuite(w )estunesuitearithmétiquedepremierterme−1etderaisonn
2.Onadonc,pourtoutentiernatureln,w =w +n×2=−1+2n.n 0
u un n n4. Onatrouvéque,pourtoutentiernatureln,w =2n−1= = =2 ×u .n n1vn n2
2n−1 nDoncu = ,car2 6?0quelquesoitn∈N.n n2
5. Démonstrationparrécurrence:
2n+3
Pourtoutentiernatureln,notonsP laproposition:«S =2− ».n n n2
2×0+3 3
• Initialisation:S =u =−1et2− =2− =2−3=−1.P estvraie.0 0 002 1
• Hérédité:supposonsqu’ilexisteunnatureln telque:
nX 2n+3
S = u =u +u +···+u =2− .n i 0 1 n n2i=0
2n+3 2(n+1)−1 −4n−6+2n+1 −2n−5 2n+5 2(n+1)+3
DoncS =S +u =2− + =2+ =2+ =2− =2− .n+1 n n+1 n n+1 n+1 n+1 n+1 n+12 2 2 2 2 2
Laformuleestvraieaurangn+1,etP esthéréditaire.n
Onadoncdémontréparrécurrencequepourtoutn deN:
2n+3
S =2− .n n2
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