Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Charles Suquet

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2006 Corrigé de l'examen du 15 juin 2006. Première partie : exercices 1–3 Ex 1. Vitesse moyenne (3 points) On a enregistré à l'aide d'un radar les vitesses X1(?) = x1, . . . , X400(?) = x400 de 400 automobiles dans des conditions permettant de supposer que X1, . . . , X400 sont indépendantes et de même loi. On a obtenu les statistiques suivantes : 400∑ i=1 xi = 35 200 km/h, 400∑ i=1 x2i = 3 107 600 (km/h) 2. On se propose d'estimer EX1 par un intervalle de confiance au niveau 98%. Ici la loi des v.a. Xi est inconnue. Il est clair pour des raisons physiques que les Xi sont des v.a. bornées, donc a fortiori de carré intégrable. Un estimateur naturel de EX1 est la moyenne empirique X en raison de la loi forte des grands nombres. On va chercher pour EX1 un intervalle de confiance centré sur X(?) = 35 200/400 = 88 km/h. Pour construire cet intervalle de confiance, on ne peut pas utiliser ici le théorème limite central classique car l'écart-type ? des xi est inconnu.

• carré intégrable


• moyenne empirique


• borne droite par excès


• s?n


• ?1 ?


• ????? n?


• yn


• ex1

Sujets

• Mathématiques
• Première
• Carré sommable
• Moyenne arithmétique

Informations

• Publié par: profil-ondu-2012
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

IS Math314

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Corrigédel’examen Premièrepartie:

Technologies de Lille Pures et Appliquées

du 15 juin 2006. exercices 1–3

Année 2006

Ex 1.Vitesse moyenne (3 points) On a enregistré à l’aide d’un radar les vitessesX 1 (ω) =x 1 , . . . , X 400 (ω) =x 400 de400automobiles dans des conditions permettant de supposer queX 1 , . . . , X 400 sont indépendantes et de même loi. On a obtenu les statistiques suivantes : 400 400 X X 2 2 x i = 35 200 km/h, x= 3 107 600 (km/h). i i=1i=1 On se propose d’estimerEX 1 par un intervalle de confiance au niveau 98%. Ici la loi des v.a.X i est inconnue. Il est clair pour des raisons physiques que lesX i sont des v.a. bornées, donca fortioride carré intégrable. Un estimateur naturel deEX 1 est la moyenne empiriqueXen raison de la loi forte des grands nombres. On va chercher pourEX 1 un intervalle de confiance centré surX(ω) = 35 200/400 = 88 km/h. Pour construire cet intervalle de confiance, on ne peut pas utiliser ici le théorème limite central classique car l’écart-typeσdesx i est inconnu. On va utiliser le TLC avec autonormalisation où l’on remplaceσparS, la racine carrée de la variance empirique n n X X 1 1 2 22 2 S:= (X i −EX i ) =X−(X). i n n i=1i=1 LesX i étant de carré intégrable, le TLC avec autonormalisation nous dit que √ X−EX 1 loi n−−−−→Z, Z∼N(0,1).(1) S n→+∞ Cette convergence légitime pourngrand, l’approximation   √ X−EX 1 P  n  ≤t'P(|Z| ≤t)) = 2Φ(t)−1, S oùΦest la f.d.r. de la loiN(0,1). La résolution d’inégalité : √ X−EX tStS 1  n  ≤t⇔X≤ − √ EX 1 ≤X+ √ , S n n