UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE JANVIER 2010 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 3H Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Calculer la dérivée n?ième de la fonction f définie sur ] 0, +∞ [ par f(x) = 1√x . On exprimera le résultat final avec des factorielles. Exercice 2 Soit f une fonction définie et continue sur [u, v ] , dérivable sur ]u, v [ , telle que f(u) = f(v) = 0, et soit a un nombre réel n'appartenant pas à [u, v ] . En introduisant la fonction g définie sur [u, v ] par g(x) = f(x)x? a , montrer qu'il existe c dans ]u, v [ tel que f ?(c) = f(c)c? a . Faire un dessin illustrant le résultat obtenu. Exercice 3 Calculer les intégrales I = pi/4 ∫ 0 dx cos x(sinx + cos x) et J = 1 ∫ 0 x arctan x dx . T.S.V.P 1

  • x2e?4x2 ?

  • théorème d'encadrement

  • croissance comparée des puissances et des exponentielles

  • coefficient directeur de la tangente

  • positive entre ? √


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Publié le 01 janvier 2010
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Langue Français
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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
EXAMEN DE JANVIER 2010
Licence LCMA 1ère année Analyse 1  Semestre d’automne Calculatrices non autorisées
Durée du sujet : 3H Responsable : G. Eguether Documents non autorisés
Exercice 1
Calculer la dérivéenième de la fonctionfdéfinie sur] 0,+[par
f(x) =
1 . x
On exprimera le résultat final avec des factorielles.
Exercice 2
Soitfune fonction définie et continue sur[u, v], dérivable sur]u, v[, telle quef(u) =f(v) = 0, et soitaun nombre réel n’appartenant pas à[u, v]. En introduisant la fonctiongdéfinie sur[u, v]par
f(x) g(x) =, xa montrer qu’il existecdans]u, v[tel que
f(c) f(c) =. ca Faire un dessin illustrant le résultat obtenu.
Calculer les intégrales
Exercice 3
π/4 Z dx I= cosx(sinx+ cosx) 0
1
et
1 Z J=xarctanx dx . 0
T.S.V.P