UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE JUIN 2010 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 3H Analyse 1 - Semestre de printemps Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Soit la fonction f : [ 0, +∞ [ ? R x 7? ln(x + 2) . 1. Montrer que f est contractante. 2. Montrer que l'intervalle [ 0, +∞ [ est stable par f . 3. Montrer que f possède un unique point fixe (que l'on ne cherchera pas à déterminer) sur [ 0, +∞ [ . 4. On définit la suite (un)n?N par u0 = 1 et un+1 = f(un) pour tout n ≥ 0. Cette suite converge- t-elle. Justifier. Exercice 2 On rappelle que e = exp 1 ≤ 3 et e?1 ≤ 1. Soit n ? N. Trouver un polynôme P2n de degré 2n tel que pour tout x ? [ 0, 1 ] , | ch x? P2n(x)| ≤ 2 (2n + 2)! . En déduire un nombre rationnel qui approche ch 1 à 10?3 près. Exercice 3 Pour x ? R, on pose F (x) = x4 ∫ x2 ln(2 + t + cos x) dt .

• expression explicite de f0


• formule de taylor-lagrange


• x4 ∫


• théorème du point fixe


• subdivision du segment


• fn


• semestre de printemps calculatrices


• polynôme de taylor

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Théorème de Taylor
• Théorèmes de point fixe

Informations

• Publié par: davaj
• Date de parution: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

EXAMEN DE JUIN 2010

Licence LCMA  1ère année Analyse 1  Semestre de printemps Calculatrices non autorisées

Durée du sujet : 3H

Documents non autorisés

Exercice 1

Soit la fonction f0: [ ,+∞[ x 1. Montrer quefest contractante.

→ 7→

R ln(x+ 2).

2. Montrer que l’intervalle[ 0,+∞[est stable parf.

3. Montrer quefpossède un unique point fixe (que l’on ne cherchera pas à déterminer) sur [ 0,+∞[.

4. On définit la suite(u n ) n∈N paru 0 = 1etu n+1 =f(u n )pour toutn≥0. Cette suite converge telle. Justifier.

Exercice 2

−1 On rappelle quee= exp 1≤3ete≤1. Soitn∈N. Trouver un polynômeP 2n de degré2ntel que pour toutx∈[ 0,1 ], 2 |chx−P 2n (x)| ≤. (2n+ 2)! −3 En déduire un nombre rationnel qui approchech 1à10près.

Exercice 3

Pourx∈R, on pose 4 x Z F(x) = ln(2 +t+ cosx)dt . 2 x 1. Montrer queFest définie pour toutx∈R.

2. Montrer queFest dérivable surRet calculer sa dérivée.