UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE NOVEMBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 2H Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = ln(1 + x)? sinx ex ? x? 1 . Exercice 2 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = (2 + x) √ 1+x . Exercice 3 Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre n en a puis utiliser cette formule pour obtenir le développement limité de tan x à l'ordre 3 au voisinage de pi/4. Exercice 4 Soit f une fonction continue en x = 1 et admettant au voisinage de 1 le développement limité f(x) = 2 ? 3(x? 1) ? 2(x? 1)3 + ?((x? 1)3) . Faire le dessin représentant l'allure du graphe de la fonction au voisinage de 1. Exercice 5 Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction f définie sur R par f(x) = ? ? ? x2 ? ax + b si x > ?1 a2 si x = ?1 ?2ax + b si x < ?1 soit continue sur R.

• courbe


• développement limité


• semestre d'automne responsable


• formule de taylor-young


• ex ?


• division suivant les puissances croissantes


• dessin grossier du graphe

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Courbe
• Développement limité
• Théorème de Taylor

Informations

• Publié par: davaj
• Date de parution: 01 novembre 2009
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

EXAMEN DE NOVEMBRE 2009

Licence LCMA  1ère année Analyse 1  Semestre d’automne Calculatrices non autorisées

Durée du sujet : 2H Responsable : G. Eguether Documents non autorisés

Exercice 1

Calculer le développement limité à l’orde2en0de

ln(1 +x)−sinx f(x) =. x e−x−1

Exercice 2

Calculer le développement limité à l’orde2en0de

1+x f(x) = (2 +x).

Exercice 3

Ecrire la formule de TaylorYoung à l’ordrenenapuis utiliser cette formule pour obtenir le développement limité detanxà l’ordre3au voisinage deπ/4.

Exercice 4

Soitfune fonction continue enx= 1et admettant au voisinage de1le développement limité 3 3 f(x) = 2−3(x−1)−2(x−1) +◦((x−1) ). Faire le dessin représentant l’allure du graphe de la fonction au voisinage de1.

Exercice 5

Déterminer les nombres réelsaetbpour que la fonctionfdéfinie surRpar  2  x−ax+bsix >−1 2 f(x) =asix=−1  −2ax+bsix <−1 soit continue surR.

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T.S.V.P