Contrôle corrigé première S suites numériques

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Contrôle corrigé sur les suites numériques en première S.
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Ajouté le 13 février 2014
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Langue Français
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Premi`ereS-Devoir

Exercice 1

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

( 4 points

)

2
+1= 2u un pour+ 3
1.Etudier le sens de variation de la suite (unarepniefi)´du0= 3 etunn+
toutn∈N.

2.

☛Solution:

Pour tout entiern:
2 2
u−u+ 3−u= 2u+ 3
n+1n= 2un+un n n
2 2
u≥0 donc 2u+ 3≥3>0 doncun+1−un>0 donc (un) est strictement croissante.
n n
(unmoe´rte´euqiared)tuessuneegitisonq >0 telle queu1= 12 etu5= 3072 : calculerqpuis
u7.

☛Solution:

n n−1
(unutse)edarqieusinoitegnesu´etr´eomq >0 doncun=u0×q=u1×q
4
u5=u1×q= 3072

4
⇐⇒12×q= 3072

3072
4
⇐⇒q= = 256
12

⇐⇒q= 4 ou bienq=−4

orq >0 doncq= 4

6
doncu7=u1× 124 =×4096 = 49152
3. + 5 + 8 +Calculer 2∙ ∙ ∙+ 299 + 302.

☛Solution:

Soit (unarteuiesti´ehmiterpedeuqmretreime)nuu0= 2 et de raisonr= 3.
un=u0+n×r= 2 + 3n
•Recherche dentel queun= 302
un= 2 + 3n= 302

⇐⇒3n= 300

⇐⇒n= 100

•Calcul de la sommeu0+u1+......+u100= 2 + 3 + 8 +.....302
u0+u1+......+u100= 2 + 3 + 8 +.....302

Chapitre 4:Suites

Page 1/9

Mathspremie`reS

Premie`reS-Devoir

u0+u100
= 101×
2

2 + 302
= 101×
2

= 15352

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

Remarque :siastnCERunemeacaledRUriatullcissaencetuocnOeploretnˆresuller´vecltata
la suitean= 2 + 3n
4.enuttiustseeoe´getm´qurionednptoEnutilisane,mretreimerpeltensoaiaralerisecr´
calculer 1 + 2 + 4 + 8 +.......+ 32768.

☛Solution:

Soit (unetmreepremieretriqued´get´moenu)iuseu0= 1 et de raisonq= 2.
n n
un=u0×q= 2
•Recherche dentel queun= 32768
n
un= 2 32768 =
x
Avec le menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonctionY1= 2 puis en
param´etrantdansSETled´ebut`a0,lafindutableaudevaleur`a100parexempleeten
15
prenant pour pas 1 (pour n’avoir que les valeurs dex3=7286bono,ser2tneit`etien
doncu15= 32768
On peut aussi utiliser le menu RECUR de la calculatrice avec la suite de typeanen
n n
saisissanta .....= 2
onobtientdemˆemequea15= 32768.
•Calcul de la sommeu0+u1+......+u15= 1 + 2 + 4 + 8 +.......+ 32768
u0+u1+......+u15= 1 + 2 + 4 + 8 +.......+ 32768
16
1−2
=u0×La raison est 2 et il y a 15+1=16 termes
1−2
16
1−2
=
−1
16
= 2−1

= 65535

Remarque :Cmoemestionprpourlaquuepno,etnede´ce´´eerrlleˆotrontcemunceeltavaustl
n
RECUR de la calculatrice en saisissant la suitean= 2

Exercice 2

Chapitre 4:Suites

Page 2/9

( 5 points )

Mathspremie`reS

Premie`reS-Devoir

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

Le1erjanvier2012,onaplac´e5000eurosa`int´ereˆtscompos´esautauxannuelde4%.
(Celasignifiequelesinte´rˆetsajoute´saucapitalchaquenouvelleann´eesont´egaux`a4%ducapital
del’anne´epr´ec´edente).
Chaquepremierjanvier,onplace200eurossupple´mentairessurcecompte.
On noteC0reivnajr´nna’ledet1220ee5=00l0cepatilaidsponibleaupremieCnle capital disponible
au1erjanvierdel’ann´ee2012+n.

1.Calculer les valeurs exactes deC1etC2.
☛Solution:
4
C1=C0+C0+ 200 = 1,04C0+ 200 = 1,04×5000 + 200 = 5400
100
4
C2=C1+C1+ 200 = 1,04C1+ 200 = 1,04×5400 + 200 = 5816
100
2.Justifier que pour tout entiern,Cn+1= 1,04Cn+ 200.
☛Solution:
Comme pour le calcul deC1etC2, on a :
4
Cn+1=Cn+Cn+ 200 =Cn+ 0,04Cn+ 200 = 1,04Cn+ 200
100
3.Justifier que la suite (unn’es)qieu´mteirhtntaitr´eueiqig,nom´e.
☛Solution:
Une suite (unstarithm)epiuotruoe´ituqsenreitnetlerutan,un+1=un+r.
Une suite (un)semoe´gte´uesitriqtoutpouritneanreerutln,un+1=qun.
Ici on aCn+1= 1,04Cn donc (+ 200,Cn)n’estniariht´mteqieun,gie´om´etrique.
On peut aussi utiliser les termesC0,C1etC2vaio`,sa:r
C1−C0= 400 etC2−C1= 416
donc (Cn’n)rasaptseti´ehmite.qu
C1C2
= 1,08 et'1,077
C0C1
donc (Cniqtr.ue´esg´eomn)e’tsap
4.Pour tout entiern, on posevn=Cn+ 5000.

a) Calculerv0
☛Solution:

v0=C0+ 5000 = 10000
Montrer que (vn´eeg´eomiqtr.uese)enuttius
☛Solution:

Pour tout entier natureln, on a :

Chapitre 4:Suites

Page 3/9

Mathspremi`ereS

Premi`ereS-Devoir

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

vn+1=Cn+1+ 5000
= 1,04Cn+ 200 + 5000
= 1,04Cn+ 5200
= 1,04(Cn+ 5000)
= 1,04vn
donc (vneimreetmredqureepm´eorietiuse´gete)nutsv0= 10000 et de raisonq= 1,04
b)Ende´duirel’expressiondevnen fonction den.
☛Solution:
(vnunes)estpedeimeretreemrteuieog´etm´quriv0= 10000 et de raisonq= 1,04
n n
doncvn=v0×q= 10000×1,04
puis deCnen fonction den
☛Solution:

n
vn=Cn+ 5000 doncCn=vn−5000 = 10000×1,04−5000
Pourlesquestionssuivantes,toutede´marcheserapriseencomptedansl’´evaluation.

5.reluacelclaCnipoe`bltapiisldndelalafi´ee2’annrrno20a0lae’id`eesr`opur.

☛Solution:

Cnllepremierjanviedrlea’nne´2e10+2tseatipaceln.
doncpourlafindel’anne´e2020,ilfautprendre
2021 = 2012 + 9 donc il faut calculerC9ervieimenajrse´srpelsvereuros200erlelnveeet
2021 pour obtenir la capital disponible fin 2020.
9
C9= 10000×1,04−5000'9233 (capital au premier janvier 2021)
9233−200 = 9033
Lecapitaldisponiblea`lafindel’ann´ee2020est9033eurosenviron(arrondi`al’euro)
6.teatrendurpoelque´nnedse-arvno-tnombreminimald’auQlelepasled´-t-iseratilacepanobiidps
10000 euros euros ?

☛Solution:

On veutCn>10000.
Chapitre 4:Suites

Page 4/9

Mathspremi`ereS

Premi`ereS-Devoir

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

Cn>10000
n
⇐⇒10000×1,04−5000>10000
n
⇐⇒10000×1,04>15000
15000
n
⇐⇒1,04>
10000
n
⇐⇒1,04>1,5

x
Avec le menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonctionY1= 1,04 puis en
param´etrantdansSETlede´buta`0,lafindutableaudevaleura`50parexempleetenprenant
10 11
pour pas 1 (pour n’avoir que les valeurs dex,snoboitnnee1itte`er,04'1,48 et 1,04'1,54
doncn≥11.
Lecapitaldisponibleserasup´erieur`a10000euroslepremierjanvier2012+11=2023
On peut aussi utiliser le menu RECUR de la calculatrice avec la suite de typean+1en saisissant
an+1= 1,04anat`bu´emae´pnraltdertna+uise200pnerap05a`teelpmexfinlaet=0a0= 5000

Exercice 3

( 6 points )

Soient (un) et (vnd)e´nfieitentiernspourtoulerutan, par :
1 1
n n
un= (2 + 4n−5)et vn= (2−4n+ 5)
4 4
1.Calculeru0,u1
☛Solution:
1−4
0
u0= (2 4 +×0−5) = =−1
4 4
1 1
1
u1= (2 + 4×1−5) =
4 4
puisv0etv1
☛Solution:
1 6 3
0
v0= (2−4× =0 + 5) =
4 4 2
1 3
1
v1= (2−4×1 + 5) =
4 4
2.Montrer que la suite (anle´ard´)gtneereeman=un+vnm´etg´eoest.2nosiaredeuqir

☛Solution:

an=un+vn
1 1
n n
= (2 + 4n−5) + (2−4n+ 5)
4 4
Chapitre 4: 5/9Suites Page

Mathspremi`ereS

Premi`ereS :-Devoir n 4-1Suites( Chap 4)
o
1
n n
= (2 + 4n−5 + 2−4n+ 5)
4
1
n n
= (2 + 2 )
4
1
n
= (2×2 )
4
1
n n
=× explicite2 (formeun=u0×q)
2
3 1
donc (aneqougr´iteetumi´meisruenespt)edeemretrea0=u0+v0=− et de1 + =
2 2
raisonq= 2.
1
n n n−1
On a doncan=a0×q=× 22 =
2
Exprimer la sommeSa(n) =a0+a1+...+anen fonction den
☛Solution:
n+1n+1n+1
1− 12 1−2 2−1
Sa(n) =a0+a1+...+an=a0×=×=
1−2 2−1 2
3.Montrer que la suite (bnla´eegern´de)rmtebn=un−vnseatirue;thm´etiq
☛Solution:
bn=un−vn
1 1
n n
= (2 + 4n−5)−(2−4n+ 5)
4 4
1
n n
= (2 + 4n−5−2 + 4n−5)
4
1
= (8n−10)
4
5
= 2n−(forme expliciteun=u0+nr)
2
3 5
donc (bnetiutirae´mhuqitst)eesunmrereeterimdepeb0=u0−v0=−1−=−et de
2 2
raisonr= 2.
5
bn= 2n−
2
Exprimer la sommeSb(n) =b0+b1+...+bnen fonction den.
☛Solution:
−5 5
+ 2n−
b0+bn−5 + 2n
2 2
Sb(n) =b0+b1+...+bn= (n+ 1)×= (n+ 1)×= (n+ 1)×
2 2 2
4.Eesleseosmmdne´udriSu(n) =u0+u1+...+un
☛Solution:

Sa(n) =a0+a1+...+an=u0+v0+u1+v1+......un+vn
Sb(n) =b0+b1+...+bn=u0−v0+u1−v1+......un−vn
Enajoutantmembrea`membrelesdeuxe´galit´esci-dessousona:
Chapitre 4:Suites Page 6/9

Mathspremi`ereS

Premie`reS-Devoir

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

Sa(n) =u0+v0+u1+v1+......un+vn
Sb(n) =u0−v0+u1−v1+......un−vn
Sa(n) +Sb(n) = 2u0+ 2u1+......2un
Sa(n) +Sb(n)
doncu0+u1+......un=
2

n+1
2−1−5 + 2n
+ (n+ 1)×
2 2
=
2

n+1
2−1 + (n+ 1)×(−5 + 2n)
=
4

etSv(n) =v0+v1+...+vn
☛Solution:

Ensoustrayantmembre`amembrelesdeuxe´galite´sci-dessousona:
Sa(n) =u0+v0+u1+v1+......un+vn
Sb(n) =u0−v0+u1−v1+......un−vn
Sa(n)−Sb(n) = 2v0+ 2v1+......+ 2vn
Sa(n)−Sb(n)
doncv0+v1+......+vn=
2

n+1
2−1−5 + 2n
−(n+ 1)×
2 2
=
2

n+1
2−1 + (n+ 1)×(5−2n)
=
4

Exercice 4

2
n
La suite (une)´dtsouerltnttenrnieifieuoruaetpnparun= .
n
2
Onveutde´montrerquelasuite(un).3gnraduirrtpa`ateane´rciosssedt

1.Calculerunpourn≤4
☛Solution:

Chapitre 4:Suites

Page 7/9

( 5 points

)

Mathspremi`ereS

Premi`ereS-Devoir

o
n 4-1 :Suites( Chap 4)

4
3
4 2
9
u0= = =
2 6 3
2
3
3
u1= = 1
2
3×1 3
u2= =
2 2
3
3
9
2
u3= =
2 4
9
3
27
4
u4= =
2 8
2
´
2.Etudier le signe def(x) =−x+ 2x + sur [0;+ 1∞[ .
☛Solution:
2
•Racines def(x) =−x+ 2x+ 1
2 2
Δ =b−4ac= 2−4×(−1)×1 = 8
Δ>il y a une deux racines :0 donc
√ √ √

−b−Δ−2−8−2−2 2
x1 == = 2 = 1 +
2a−2−2
et
√ √ √

−b+ Δ− 82 +−2 + 2 2
x2= = 1 = =−2 etx2/∈[0; +∞[
2a−2−2
2
•Signe def(x) =−x+ 2x+ 1

x0 1 + 2 +∞
signe de−a= 1 de 0 signea=−1
2
f(x) =−x+ 2x 0 ++ 1 -

doncf(x)> + 2; +0 sur [1∞[
2
−n+ 2n+ 1
3.que pour tout entier naturel n, on a :Montrer un+1−un=
n+1
2
☛Solution:
2 2
(n+ 1)n
un+1−un=−
n+1n
2 2
2 2
(n+ 1) 2n
=−
n+1n+1
2 2
2 2
(n+ 1)−2n
=
n+1
2
2 2
n+ 2n+ 1−2n
=
n+1
2
2
−n+ 2n+ 1
=
n+1
2
Chapitre 4:Suites Page 8/9Sere`imerpshtaM

o
Premie`reS-Devoir n 4-1 :Suites( Chap 4)

4.esqureuiiEnd´edn≥3 alorsun+1≥unpuis conclure.
☛Solution:
2
−n+ 2n+ 1f(n)
un+1−un= =
n+1n+1
2 2
n+1
2>0 doncun+1−unest du signe def(n).

D’apr`eslaquestion2.,f(x)<0 pourx > 21 +

doncf(n)<0 pourn > 21 + soit pourn≥3.

On a doncun+1−un<0 pourn≥3 donc la suite (un)eststritean`arce´ssiometcdtne
partir den= 3

Chapitre 4:Suites

Page 9/9pseraMhtSre`emi