Correction Devoir Surveillé n PSI

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Correction Devoir Surveillé n?5 PSI MATHEMATIQUES Problème I Question 1. 1.1. Pour x réel, la fonction fx : t 7? tx?1e?t est continue sur ]0,+∞[, à valeurs stricte- ment positives et fx(t) ? t?0 1 t1?x et t2fx(t) ?? t?+∞ 0 donc fx(t) = t?+∞ 0 ( 1 t2 ) . Par conséquent, par comparaison aux intégrales de Riemann, fx est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si 1?x < 1 (c'est-à-dire x > 0) et fx est intégrable sur [1,+∞[ pour tout x. Par conséquent : L'ensemble de définition de la fonction ? est ]0,+∞[. 1.2. Fait en cours. 1.3. ?(1) = ∫ +∞ 0 e?tdt = lim T?+∞ [ ?e?t ]t=T t=0 = lim T?+∞ (1? e?T ) = 1 : ?(1) = 1. 1.4. Soient x > 0 et a, b tels que 0 < a < b ; j'intègre par parties sur le segment [a, b] : x ∫ b a tx?1e?tdt = [ txe?t ]t=b t=a + ∫ b a txe?tdt.

  • t2 au voisinage des infinis

  • endomorphisme surjectif de c0

  • périodicité

  • question précé- dente

  • lim t?

  • théorème de double

  • pi périodicité du cosinus

  • limite nulle

  • nulle en ±∞


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