Devoir second degré première S

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29 septembre 2014

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213

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Français

Contrôle de base sur le second degré
-forme canonique
-racines
-équations du second degré
-recherche de l'expression de f à partir de sa représentation graphique

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Premie`reS-Devoir

Exercice 1
R´esoudre
2
2x−10x−5
1.=x−3
x+ 2

☛Solution:

o
DS n 1-2 :Chap 1-dnocrgede´Se

❏Recherche deDf
Il fautx+ 26= 0 soitx6=−2
Onre´soutsurDf=R\ {−2}
❏oPotrur´utleex∈Df:
2
2x−10x−5
=x−3
x+ 2
2
⇐⇒2x−10x−5 = (x+ 2)(x−3)
2 2
⇐⇒2x−10x−5 =x−x−6
2
⇐⇒x−9x+ 1 = 0
2
Δ =b−4ac= 81−4 = 77
Δ>0 donc il y a deux racines :
√ √
−b−Δ 9−77
x1= =
2a2
et
√ √
−b9 + 77+ Δ
x2= =
2a2
x1∈Dfetx2∈Df
( )
√ √
9−+ 7777 9
doncS= ;
2 2

4 2
2.x−6x+ 8 = 0

☛Solution:

2
On poseX=x
2
etilfautalorsre´soudrel’´equationX−6X+ 8 = 0
2
Δ =b−4ac= 36−32 = 4
Δ>0 donc il y a deux racines :

Chapitre 1:edrgocdneS´e

Page 1/5

( 9 points

)

Mathspremie`reS

MATHS-LYCEE.FR
Premi`ereS-Devoir

o
DS n 1-2 :Chap 1-degr´eeSocdn

√
−b−Δ 6−2
X1= 2= =
2a2
et
√
−b6 + 2+ Δ
X2= 4= =
2a2
Ondoitr´esoudre:
2 2
x= 2 oux= 4
√ √
⇐⇒x= 2 oux=−2 oux= 2 oux=−2
√ √
doncS=−2;−2; 2; 2
√
3.3−x= 3x+ 5

☛Solution:

❏Il faut 3−x≥0⇐⇒3≥xsoitx∈]− ∞; 3]
 
−5−5
et 3x+ 5≥0⇐⇒x≥soitx∈; +∞
3 3
   
−5−5
Onre´soutsurDf=]− ∞; 3]∩; +∞3= ;
3 3
❏Pouletr´ertoux∈Df:
√
3−x= 3x+ 5
2
⇐⇒3−x= (3x+ 5)
2
⇐⇒3−x= 9x+ 30x+ 25
2
⇐⇒9x+ 31x+ 22 = 0
2
Δ =b−4ac= 169
Δ>0 donc il y a deux racines :
√
−b−Δ−31−13−44−22
x1= == =
2a18 18 9
et
√
−b+ Δ−31 + 13−18
x2= = = =−1
2a18 18
❏Ensemble de solution :
x1∈/ Dfetx2∈Df
doncS={−1}
√ √
2
4.x+ 5x+ 6 =x+ 3

☛Solution:

❏Recherche deDf:
2
Il fautx+ 5x+ 6≥0
Recherche des racines :
2
Δ =b−4ac= 25−24 = 1
Δ>0 donc il y a deux racines :
√
−b−Δ−5−1−6
x1= = = =−3
2a2 2

Chapitre 1:gr´eSecondde

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Mathspremi`ereS

MATHS-LYCEE.FR
Premie`reS-Devoir

o
DS n 1-2 :Chap 1-econddeg´reS

et
√
−b+ Δ−5 + 1−4
x2= = = =−2
2a2 2
2
signe dex+ 6x:+ 6
tableau de signes

doncx∈]− ∞;−3]∪[−2; +∞[

Il faut aussix+ 3≥0 soitx≥ −3
doncDf= (]− ∞;−3]∪[−2; +∞[v)∩[−3; +∞[= [−2; +∞[ (intersection des deux
ensemblestrouve´sci-dessus)
❏rtouPoueltr´ex∈Df:
√ √
2
x+ 5x+ 6 =x+ 3
2
⇐⇒x+ 5x+ 6 =x+ 3
2
⇐⇒x+ 4x+ 3 = 0
2
❏Recherche des solutions dex+ 4x+ 3 = 0
2
(−1)−4 + 3 = 0 doncx1=−1 est une solution.
c
x1x2=⇐−⇒x2= 3⇐⇒x2=−3
a
❏Ensemble de solution :
x1∈Dfetx2/∈DfdoncS={−1}

2
5.−2x+ 5x−3>0

☛Solution:

2
❏Recherche des racines de−2x+ 5x−3
−2 + 5−3 = 0 doncx1= 1 est une racine.
c3
x1x2=⇐⇒x2=
a2
2
❏Signe de−2x+ 5x−3

❏utioesolblednsemE:n
3
S=]1; [
2

2
2x−5x+ 1
6.62
3−x
☛Solution:

Chapitre 1:eceSonddegr´

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Premie`reS-Devoir

o
DS n 1-2 :Chap 1-ddgecenoerS´

❏Il faut 3−x6= 0 soitx6= 3
doncDf=R\ {3}
❏rtoutr´elePoux∈Df:
2
2x−5x+ 1
62
3−x
2
2x−5x+ 1
⇐⇒−260
3−x
2
2x−5x+ 1−2(3−x)
⇐⇒60
3−x
2
2x−5x+ 1−6 + 2x)
⇐⇒60
3−x
2
2x−3x−5
⇐⇒60
3−x
2
❏Racines de 2x−3x−5
2
Δ =b−4ac= 9 + 40 = 49
Δ>0 donc il y a deux racines :
√
−b−Δ 3−7
x1= = =−1
2a4
et
√
−b3 + 7 5+ Δ
x2== =
2a4 2
❏Tableau de signes

❏blednsemutioesolnE
5
S= [−1; ]∪]3; +∞[
2

( 4 points )
Exercice 2
3 2
SoitPrusiˆdneymlonoﬁpee´lRpar :P(x) =x−4x+ 3x+e´rseuord.2nOevtuP(x) = 0.
1.Montreoi.natqu´eteetecndiotulosenutse2euqr

☛Solution:

suiteducorrige´DS1-2surMATHS-LYCEE.FRclassedepremi`ereS

2
2.relarolsse´reeslD´etermina,betctels que :P(x) = (x−2)(ax+bx+c).
3.suolei´trspepoosilten´o’qneoadusEndirele´:eduP(x) = 0.

Chapitre 1:e´rgeddnoceS

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Premie`reS-Devoir

o
DS n 1-2 :Chap 1-gr´encdodSee

( 4 points )
Exercice 3
2 2
Onconsid`erelesfonctionsfetgusseinﬁer´dRparf(x) = 3x−4x−4 etg(x) =−3x+ 6x+ 12
et on noteCfetCgpargsnoiedseuqihxfeusdcensioctonnueradsnoetr`prenal.hogoese´tatnselrper
1.enimselrroocnnodes´esoduetmmladeaparobeleterD´Cg.
2.Dresser le tableau de variation degpuistracerCgequep`ermereeˆmelsnadCf.
2 2
3.atqun3ionie´er’losduRe´x−4x−4>−3x+ 6x+ 12.
Commentpeut-oncontrˆolergraphiquementl’ensembledesolutionobtenu?

( 3 points )
Exercice 4
ABCDestuncarr´edecˆote´8cmetMestunpointdusegment[AB].
Onpartagealorslecarr´eenquatrerectanglescommel’indiquelaﬁgureetonnoteAgl’airedu
domainecolore´engrissurlaﬁgureci-dessous.

J’aﬃrme qu’il existeune seulepenudnoitisoe´edlamaioitleuq’lelopMealruegt´e`alreaiesAg
l’aireducarr´eABCD.
Est-ce vrai ?

Chapitre 1:´egrdendcoSe

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Mathspremi`ereS

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