Cours sur le produit vectoriel, le produit mixte et le produit scalaire
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Produit scalaire. Produit vectoriel. Produit mixte. I Produit scalaire Définition : a) Soient jyixu ??? += et jyixu ??? ?+?=? deux vecteurs de 2R . On appelle produit scalaire l'application qui a un couple de vecteur ( )uu ??, associe le réel uu ?? ?? Où yyxxuu ?+?=?? ?? b) Soient kzjyixu ???? ++= et kzjyixu ???? ?+?+?=? deux vecteurs de 3R . On appelle produit scalaire l'application qui a un couple de vecteur ( )uu ??, associe le réel uu ?? ?? Où zzyyxxuu ?+?+?=?? ?? Définition : Soit kzjyixu ???? ++= On appelle norme de u? le réel 222 zyxu ++=? On a la même définition pour un vecteur de 2R . Remarque : Soit kzjyixu ???? ++= , uuu ??? ?= 2 . On a la même remarque pour un vecteur de 2R . Théorème : Pour tout vecteur u ? , v ? et w ? , pour tout réel ? et µ . a) uvvu ???? ?=? b) ( ) wvvuwvu ??????? ?+?=?+ µ?µ? c) 02 ≥?= uuu ??? d) 002 =?=?= uuuu ???? Définition : On dit que deux vecteurs u? et v? sont orthogonaux si 0=?vu ?? Théorème : Soient u? et v? deux vecteurs.

  • ???? ?

  • ??? ?

  • u?

  • couple de vecteur

  • produit mixte

  • ??

  • réel uu

  • ????


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Langue Français

Exrait

Produit scalaire. Produit vectoriel. Produit mixte.
I Produit scalaire
Définition :
a) Soient
j
y
i
x
u
+
=
et
j
y
i
x
u
+
=
deux vecteurs de
2
R
.
On appelle produit scalaire l’application qui a un couple de vecteur
(
29
u
u
,
associe le
réel
u
u
y
y
x
x
u
u
+
=
b) Soient
k
z
j
y
i
x
u
+
+
=
et
k
z
j
y
i
x
u
+
+
=
deux vecteurs de
3
R
.
On appelle produit scalaire l’application qui a un couple de vecteur
(
29
u
u
,
associe le
réel
u
u
z
z
y
y
x
x
u
u
+
+
=
Définition :
Soit
k
z
j
y
i
x
u
+
+
=
On appelle norme de
u
le réel
2
2
2
z
y
x
u
+
+
=
On a la même définition pour un vecteur de
2
R
.
Remarque :
Soit
k
z
j
y
i
x
u
+
+
=
,
u
u
u
=
2
.
On a la même remarque pour un vecteur de
2
R
.
Théorème :
Pour tout vecteur
u
,
v
et
w
, pour tout réel
λ
et
μ
.
a)
u
v
v
u
=
b)
(
29
w
v
v
u
w
v
u
+
=
+
μ
λ
μ
λ
c)
0
2
=
u
u
u
d)
0
0
2
=
=
=
u
u
u
u
Définition :
On dit que deux vecteurs
u
et
v
sont orthogonaux si
0
=
v
u
Théorème :
Soient
u
et
v
deux vecteurs.
Si on appelle
α
angle
(
29
v
u
,
, alors
(
29
α
cos
v
u
v
u
=
II Déterminant de deux vecteurs de
2
R
.
Dans ce paragraphe, tous les vecteurs sont dans
2
R
.
Définition :
Soient
j
y
i
x
u
+
=
et
j
y
i
x
u
+
=
deux vecteurs.
On appelle déterminant de
u
et
u
le réel :
(
29
y
x
y
x
y
y
x
x
u
u
dét
-
=
=
,
Théorème :
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