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D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 314 KAMIL FADEL Chef du département de physique, au Palais de la découverte Dans sa forme qualitative,la théorie moderne de lasustentation de l'aile repose sur les idées exposées en 1894 par le juriste anglais Frederick Lanchester (1868-1946) relatives aux mouvements tourbillonnaires créés dans un fluide lors du déplacement d'une surface portante.
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14 D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3
Histoire de la théorie
de la sustentation
KAMIL FADEL
Chef du département de physique,
au Palais de la découverte
ans sa forme qualitative, de 1919 : elle est l’œuvre de
la théorie moderne de la l’Allemand Ludwig Prandtl (1874-Dsustentation de l’aile repose 1953), directeur de l’Institut de
sur les idées exposées recherches aérodynamiques de
en 1894 par le juriste anglais Göttingen.
Frederick Lanchester (1868-1946) Nous allons présenter ici une
relatives aux mouvements histoire condensée de la théorie
tourbillonnaires créés dans un de la sustentation, théorie
fluide lors du déplacement d’une reposant elle-même sur les
surface portante. L’expression travaux d’un grand nombre de
quantitative de la portance scientifiques qui ont participé
d’une aile fictive d’envergure à l’élaboration de cette branche
infinie dans un fluide sans de la physique que l’on appelle
viscosité a été formulée en 1902 mécanique des fluides.
par le mathématicien Wilhelm Cette histoire, nous allons la
Kutta (1867-1944), en Allemagne, survoler à travers les efforts de
et d’une manière indépendante en quelques-uns des scientifiques
1906 par l’aérodynamicien Nikolai et des passionnés qui l’ont écrite
Joukowski (1847-1921), en Russie. au cours de la période qui s’étend
Enfin, sous sa forme achevée, de Léonard de Vinci à Prandtl en
la théorie de l’aile réelle, de passant par Galilée, Mariotte,
dimension finie en mouvement Newton, Bernoulli, d’Alembert…
dans un fluide visqueux, date15
« A propos de l’épineuse question relative au vol mécanique,
il apparaît que nous ignorons toujours les lois et les règles de base
qui constituent les principes élémentaires relatifs à sa réalisation. […]
Aucune preuve tangible n’a pu être apportée à l’impossibilité
du vol humain. […] Nous ignorons également l’action du vent sur des
surfaces de différentes formes, dimensions, inclinaisons… »
Rapport annuel de l’Aeronautical Society, 1868
« L’objectif principal de la Société est de trouver la relation
qui lie vitesse et pression de l’air
autour de surfaces planes à diverses inclinaisons. »
Rapport annuel de l’Aeronautical Society, 1870
Léonard de Vinci
Comme beaucoup d’autres avant lui,
Léonard de Vinci (1452-1519) s’est longue-
ment penché sur la question du vol humain.
Cependant, il est sans doute le premier à
s’intéresser non seulement à la réalisation de
machines volantes, mais aussi à la science du
vent et à son action sur les obstacles qu’il ren-
contre. A ce titre, il fait un pas décisif vers le
fond du problème, car, curieusement, il sem-
blerait que personne avant L. de Vinci n’ait
cherché à expliquer la sustentation d’un
oiseau. S’intéressant à la question, le savant
italien découvre deux choses. Tout d’abord, il
prend conscience de la relativité du vent : que
l’aile de l’oiseau frappe l’air immobile, ou
que le vent rencontre l’aile immobile, le résul-
tat est identique. Ensuite, il énonce la loi selon
laquelle en raison de la conservation du débit,
la vitesse d’un courant d’eau doit augmenter
au niveau d’un rétrécissement. L. de Vinci est
conscient que cela résulte du caractère incom-
pressible de l’eau. Mais l’air, remarque-t-il,
est compressible… Cela l’amène à expliquer
la sustentation de la manière suivante : les
ailes de l’oiseau battent l’air plus vite que
celui-ci ne peut s’échapper ; l’air se com-
prime donc sous les ailes « comme les
plumes de l’oreiller sous la tête du dormeur ».
Le coussin de pression ainsi créé sous les ailes16 D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3
Newton contre Descartes
_________________________________
et le vide au-dessus soutiennent l’oiseau. Voilà Dans le livre II des Principia, I. Newton ne se
comment, vers 1490, le savant italien rend prononce jamais très clairement sur la loi qui,
compte de la sustentation. selon lui, régit la résistance, si ce n’est qu’en
Bien sûr, L. de Vinci se trompait sur ce l’absence d’interaction entre les particules du
point. Mais… pas entièrement, car la pression fluide, la résistance varie comme le carré de la
de l’air est réellement plus élevée en-dessous vitesse. Concernant la partie de la traînée qui
de l’aile qu’au-dessus ; cependant, la cause dépend des interactions entre les particules,
de cette différence de pression réside ailleurs. I. Newton hésite et émet des hypothèses…
On ne peut pourtant lui reprocher cette Malgré tout, il est en mesure d’annoncer que
erreur : on n’a déterminé cette cause qu’au compte tenu de ce que l’on observe du
edébut du XX siècle ; par ailleurs, cette mouvement des planètes, l’espace dans lequel
conception erronée est encore très répandue celles-ci évoluent est nécessairement
de nos jours parmi le grand public. De plus, absolument vide, sans trace d’aucun fluide…
les nombreuses observations que L. de Vinci excepté peut-être, dit-il, «… de rares vapeurs
effectue sur le vol des oiseaux l’amènent à et des rayons de lumière », car si l’espace
changer sa conception de la sustentation. Il interplanétaire était empli d’un quelconque
comprend notamment que le battement d’ailes fluide, cela devrait créer des frottements et
sert principalement à propulser l’oiseau en gêner leurs mouvements… Il clôt ainsi le
avant, et que c’est l’écoulement de l’air autour livre II en déclarant qu’il est « …certain que
de l’aile qui engendre la différence de pres- les planètes ne sont point transportées par des
sion responsable de la sustentation (se repor- tourbillons de matière » et que cette théorie
ter dans ce dossier à l’article « Le vol des « …trouble davantage les mouvements
oiseaux et des insectes »). Ainsi, à partir de célestes qu’elle ne les explique ». Il invite
1505, L. de Vinci abandonne l’idée des ensuite le lecteur à lire le livre III où il expose
machines volantes à ailes battantes et se sa théorie, la gravitation universelle.
concentre sur la réalisation d’un appareil à
voilure fixe. Désormais, c’est le vol plané
qu’il veut réaliser : « La machine volante
s’élèvera de la crête d’une colline, devant un
univers stupéfait qui chantera sa gloire… ». Enfin, L. de Vinci formule deux lois rela-
Mais ce n’est pas tout : non seulement L. de tives à la traînée : cette dernière serait pro-
Vinci fait un grand pas en avant dans la com- portionnelle à la vitesse – sur ce point, il se
préhension de l’origine de la portance (force trompait ; ensuite, elle serait proportionnelle à
de sustentation), mais il en fait un autre relatif la surface, et là, il avait raison.
à la traînée. Il comprend l’importance de la
partie arrière d’un profil. En effet, si elle n’est
pas effilée, un certain vide et des remous Comment varie la traînée ?
apparaissent derrière le profil et freinent le Galiléo Galilée (1564-1642) est bien connu
mouvement. pour ses expériences relatives à la chute des
« Le profil le moins favorable pour un corps et à l’oscillation des pendules. Ces
bateau est justement celui qu’on lui donne mêmes expériences lui permettent de dire que
depuis des siècles : l’entrave pointue, la la résistance aérodynamique subie dans l’air
poupe large et arrondie. Cette forme produit par un corps en mouvement est proportion-
de nombreux remous et une grande résis- nelle à la densité de l’air, un facteur auquel
tance. La forme idéale serait l’inverse : une L. de Vinci n’avait pas pensé. Cependant,
entrave arrondie et une poupe étirée. » comme ce dernier, G. Galilée croit à tort queD É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3 17
la traînée augmente linéairement avec la unes par rapport aux autres, et d’un point de
vitesse, ce qui donne : vue physique, la traînée résulte en partie de
T = Kρ A V l’interaction du fluide avec lui-même, en par-
où T, K, ρ, A et V sont respectivement : la tie des chocs des particules contre le corps en
traînée, la constante de proportionnalité, la mouvement. Cette deuxième partie varie
densité du fluide, la surface du mobile et sa selon I. Newton comme le carré de la vitesse
vitesse relative à l’écoulement. (voir Scholies des propositions IV et XIV). En
A partir de 1668, Christian Huygens (1629- effet, non seulement le nombre de chocs par
1695) débute des expériences sur la chute des seconde est d’autant plus grand que la vitesse
corps. Ses observations et ses résultats expéri- est importante, mais de plus, chacun des
mentaux le conduisent l’année suivante à chocs est autant de fois plus violent. Par
affirmer que la traînée varie comme le carré ailleurs, le nombre de chocs par unité de
de la vitesse. Des expériences conduites par temps sur le corps étant proportionnel à sa
Edmé Mariotte (1620-1684) l’amènent à surface et au nombre de particules par unité de
conclure la même chose. Mais E. Mariotte volume dans le fluide, c’est-à-dire finalement
publie ce résultat et ses données expérimen- à la densité du fluide, l’expression de la force
tales en 1873, sept avant C. Huygens… R s’exerçant sur une surface plane perpendi-
culaire à l’écoulement s’écrit (fig.1a) :
2R = Kρ A V
Le sinus carré de I. Newton Et, de manière générale, si la surface fait un
Isaac Newton (1642-1727) s’intéressait, lui angleα avec l’écoulement, R varie comme le
aussi, à la résistance des fluides… mais sa carré du sinus de cet angle (fig. 1 b) :
2 2motivation principale était de démontrer l’ab- R = Kρ A V sin α
surdité de la théorie de René Descartes (1596- En effet, si la surface n’est pas perpendicu-
1650), théorie dans laquelle le philosophe laire à l’écoulement mais fait un angleα avec
français invoquait l’existence d’un fluide celui-ci, le nombre de chocs par unité de
tourbillonnant pour rendre compte du mouve- temps est réduit d’un facteur sinα ; de plus,
ment des planètes. Aussi, dans le livre II des la quantité de mouvement perpendiculaire à la
Principia (1687), Newton traite pour une plaque de chaque particule est plus faible,
large part du mouvement des corps (sphères et également d’un facteur sinα.
cylindres) dans les fluides (voir l’encadré Isaac Newton n’écrit jamais aucune des
« Newton contre Descartes »). Après avoir deux relations précédentes, mais cela est
admis par hypothèse que la résistance qu’op- implicite dans la démonstration qu’il donne
pose un fluide au mouvement d’un corps est dans la proposition XXXIV où il compare la
proportionnelle à la vitesse de celui-ci, résistance d’un cylindre à celle d’une sphère.
I. Newton annonce qu’il s’agissait là davan- Il est facile de voir sur la figure 1b l’expres-
tage d’une hypothèse mathématique que phy- sion de la composante de R parallèle à l’écou-
1sique (voir Scholie de la section I dans le lement, la « traînée » T, et de celle qui lui est
livre II des Principia). Pour I. Newton, un perpendiculaire, la « portance » P :
2 3fluide est composé de particules sphériques T = R sinα = Kρ A V sin α
2 2qui peuvent se mouvoir très facilement les P = R cosα = Kρ A V sin α cosα
Ce résultat est assez décourageant.
2Premièrement, parce que le facteur sin α
cosα est très petit, toujours inférieure à 0,38,
valeur maximale qu’il prend pour un angle
(1) Scholie = il s’agit d’une note additionelle. voisin de 55°, ensuite parce qu’il montre que18 D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3
FIGURE 1
Selon Isaac Newton, les particules de fluide
sont des sphères dures qui viennent frapper la
plaque indépendamment les unes des autres.
Si leur vitesse relative par rapport à la plaque
est augmentée dans un rapport k, non seulement
elles seront k fois plus nombreuses à heurter la
valable si la plaque atteignait les particules enplaque toutes les secondes, mais de plus, la
amont bien avant la perturbation acoustique ;quantité de mouvement de chacune d’elles sera
autrement dit, l’expression de la portancek fois plus importante, si bien que la force subit
2par la plaque sera k fois plus grande. Cela serait valable à des vitesses de loin supé-
2explique la dépendance en V de cette force. rieures à celle du son, à des vitesses hyperso-
niques. Et en effet, pour de telles vitesses, la
nature de l’écoulement varie radicalement et
la formule newtonienne de la portance devient
la traînée croît plus vite que la portance pratiquement valable.
lorsque l’angle d’incidence augmente (P/T =
1/tanα). C’est pourquoi, pendant assez long-
temps, le vol a été considéré par beaucoup Bernoulli et son principe
comme chose irréalisable. Heureusement
pour l’aviation et les oiseaux, ce résultat new- En 1628, Bendetto Castelli (1577-1644), un
tonien est faux. D’ailleurs, les premières des élèves de G. Galilée, affirme, bien après
mesures effectuées par Chevalier de Borda L. de Vinci dont les travaux n’étaient pas
(1733-1799) allaient montrer quatre-vingt ans encore connus à cette époque, que la section
plus tard que la portance est bien proportion- d’un conduit et la vitesse avec laquelle l’eau
2nelle à V , mais qu’elle varie comme sinα, et s’écoule dans ce conduit sont inversement
2non comme sin α cos α. En effet, l’expres- proportionnelle. Cette relation prend le nom
sion de la portance donnée précédemment de « loi de Castelli ». Cent ans après
correspondrait à la réalité si les particules B. Castelli, D. Bernoulli (1700-1782) fait un
n’interagissaient pas entre elles. Or, elles petit pas de plus, et grâce à lui la science des
interagissent : le mouvement des particules écoulements fait un grand bond en avant. En
percutées par la plaque se propage de proche effet, en utilisant les lois de la mécanique
en proche à la vitesse du son et se commu- newtonienne et le principe de conservation de
nique à celles loin devant, si bien que les par- l’énergie cinétique, ou force vive, énoncé par
ticules sont déjà en mouvement lorsque la Gottfried Leibniz (1646-1716) en 1695,
plaque les atteint : les filets d’air divergent D. Bernoulli énonce un nouveau principe
bien avant l’arrivée de celle-ci. Donc, le selon lequel, dans un écoulement, pression et
modèle sans interaction de Newton serait vitesse varient en sens inverse : c’est leD É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3 19
« principe de Bernoulli ». Cependant, s’il est doxe » une première fois en 1744, puis en
vrai que D. Bernoulli énonce ce principe dans 1752, et enfin en 1768. Il ne parvient jamais à
son Hydrodynamica (1738), en revanche, il ne l’expliquer. En 1777, il réalise quelques expé-
parvient jamais établir la relation qui lie ces riences relatives à la résistance des fluides et
deux grandeurs. montre que la loi de portance de Newton
donne des résultats compatibles avec l’expé-
rience pour des angles situés entre 55° et 90°,
D’Alembert et son paradoxe mais qu’elle n’est absolument pas satisfai-
sante si les angles sont faibles.
Le « principe de Bernoulli » retient particu-
lièrement l’attention de Jean le Rond
d’Alembert (1717-1783), qui, en s’appuyant Vers la théorie moderne du vol
sur ce principe, cherche à étudier la résistance
que rencontre un corps en mouvement dans Les résultats obtenus par d'Alembert et
un fluide parfait (sans viscosité). Ce travail D. Bernoulli n'étaient pas compatibles avec
l’amène à forger quelques concepts encore l'idée que se faisait I. Newton de l'écoulement
couramment employés de nos jours en méca- de l'air ; pas plus d'ailleurs que certaines
nique des fluides, notamment ceux de « vitesse expériences que l'on allait bientôt effectuer
locale » et d’« accélération locale », mais avec des ailes cambrées. Manifestement, on
aussi d’« écoulement laminaire » où l’on a ne pouvait considérer l'action d'un courant
des feuillets parallèles de fluide en écoule- d'air sur un obstacle comme celle de petites
ment. Il forge aussi le concept de « point sphères venant le heurter indépendamment les
d’arrêt » : devant un obstacle situé dans un unes des autres : au contraire, il apparaissait
écoulement, les filets de fluide se renflent et se indispensable de traiter l'air comme un milieu
divisent immédiatement pour le contourner ; continu. L'introduction de cette notion de
sur la figure 4 a et b (voir plus loin) tandis que continuité ainsi que l’entrée en scène d’un
certaines particules contournent l’obstacle par certain nombre d’ingrédients permirent de
le haut, d’autres le contournent par le bas. La réels progrès.
continuité des vitesses exige qu’au centre du
domaine de perturbation, au niveau de l’obs- • Les mathématiques
tacle, le courant s’arrête complètement : la Tandis que D. Bernoulli et J. d’Alembert
vitesse de l’écoulement est nulle ; c’est le étudient les écoulements à travers une
point d’arrêt, ou point de stagnation. approche très physique, celle qu’adopte
J. d’Alembert montre que dans un fluide Léonhard Euler (1707-1783) s’appuie exclu-
parfait les composantes de la vitesse d’une sivement sur le calcul. L. Euler crée les outils
particule de fluide sont les mêmes avant et mathématiques indispensables à l’étude des
après l’obstacle (voir plus loin fig. 4a) : cela fluides parfaits, c’est-à-dire sans viscosité. Il
signifie que la pression devant l’obstacle est la écrit l’équation dite « différentielle » qui
même que celle derrière et que, par consé- relie pression et vitesse, la résout, et obtient
quent la force que le fluide exerce sur l’obs- vers 1752 l’expression mathématique du prin-
tacle est nulle ; inversement, le corps n’offre cipe de Bernoulli, l’équation dite de
aucune résistance au mouvement du fluide ! Bernoulli :
2Ce résultat, connu sous le nom de « paradoxe p + ½ρ V = constante
de d’Alembert », est théoriquement tout à fait où p est la pression, ρ la densité du fluide,
correct, et découle de l’absence de viscosité V sa vitesse, et la constante, la pression au
du fluide. J. d’Alembert aboutit à ce « para- point d’arrêt.20 D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3
d’ailleurs : « Il y a environ cent ans,
G. Cayley portait la science du vol à un point
jamais égalé auparavant et qu'elle a à peine
retrouvé durant le siècle dernier. » Le grand
mérite de G. Cayley est de s’être sérieusement
penché sur le problème de la portance. En
effet, même si d’autres avant lui avaient étudié
la chose, l’effort avait surtout porté sur une
meilleure compréhension de la traînée, et ce,
dans le but d’améliorer les performances des
bateaux.
FIGURE 2
Fasciné par le vol, G. Cayley était persuadé,La portance d’une plaque cambrée est toujours
comme L. de Vinci à la fin de vie, que poursupérieure à celle d’une plaque plate. Elle est
réaliser le vol humain il fallait séparer le dis-notamment non nulle pour un angle d’attaque nul.
positif de propulsion, le moteur, de celui qui
2devait assurer la sustentation, les ailes . Il était
donc particulièrement intéressé par la phy-
sique des ailes et de la portance. Or, la théorie
de la portance « à la Newton » était fausse,
Puis, au cours des années 1750, il établit les comme certaines expériences (telles celles de
équations différentielles dites aux « dérivées C. Borda et J. d’Alembert) semblaient l’indi-
partielles » qui régissent les écoulements quer, et les équations d’Euler qui auraient
compressibles et incompressibles des fluides sans doute pu aider la science du vol n’étaient
parfaits. Comme le fait remarquer Louis de d’aucune utilité, car trop complexes : per-
Lagrange (1736-1813), ce travail d’Euler sonne ne savait les résoudre. Tout cela,
réduisait la mécanique des fluides parfaits à G. Cayley le savait bien, comme en témoi-
un problème d’analyse mathématique où il ne gnent ses écrits. Il décide donc d’étudier lui-
restait plus qu’à mettre au point les tech- même, expérimentalement, la portance en
niques et les astuces qui devaient permettre de fonction de l’angle d’incidence. Il découvre
résoudre les équations d’Euler. L. Lagrange et alors une chose extraordinaire : à incidence
Pierre Simon de Laplace (1749-1827) s’attel- nulle, la portance n’est pas nulle… à condi-
lent à cette tache, et contribuent chacun à sa tion que l’aile possède un profil cambré ! Par
façon à la simplification et à la résolution des ailleurs, la portance d’une telle aile est tou-
équations d’Euler. L. Lagrange introduit par jours supérieure à celle d’une aile plate de
exemple en physique le concept de potentiel même surface (fig. 2). Personne n’était
de vitesse, noté Φ, et une fonction, appelée capable d’expliquer cela, et certainement pas
fonction de courant, notée ψ. Dans certains la théorie newtonienne ! On doit également à
cas, Φ et ψ peuvent être introduits dans les G. Cayley d’avoir clairement énoncé la
équations d’Euler ; cela a pour conséquence « composition vectorielle des forces » agis-
de simplifier grandement ces équations. sant sur un objet volant : portance, poids,
3propulsion, traînée . Enfin, G. Cayley note
• L’aile cambrée que selon la théorie newtonienne, le rapport
Sir George Cayley (1773-1857) est souvent P/T, que l’on appelle « finesse », est égal à
considéré comme le père de l’aviation. En 1/tanα. Or, cette expression tend vers l’infini
1909, Wilbur Wright (1867-1912) écrivait à mesure que l’angle tend vers zéro ! AfinD É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3 21
Poser un lapin
ou fixer un rendez-vous ?
_____________________
que ne l’avait fait C. Navier lui-même. Deux
Selon une idée assez répandue, deux ans après lui, et d’une manière totalement
éléments de fluide au bord d’attaque d’une indépendante, George Gabriel Stokes (1819-
aile doivent se rejoindre au bord de fuite au 1903) arrive au même résultat. Mais l’équa-
même moment. L’élément de fluide tion de « Navier-Stokes » se révèle encore
empruntant l’extrados devant parcourir un plus complexe que celle d’Euler : personne
chemin plus long que celui empruntant n’était capable de la résoudre dans le cas
l’intrados, le fluide doit s’écouler plus vite général. C’est la raison pour laquelle, à partir
au-dessus. Ce principe de temps de transit de 1850, on oriente les efforts vers la
égaux est bien sûr faux. En effet, aucune loi recherche de solutions approximatives.
ne stipule cela en physique. Par ailleurs, si Presque à ce moment, une nouvelle approche
cela était vrai, l’extrados devrait être bien du problème apparaît. Elle s’appuyait sur la
plus long que ce qu’il est habituellement : notion de « vorticité »…
le profil d’aile ressemblerait à une énorme
colline. En réalité, lorsque l’élément de fluide • La vorticité
longeant l’intrados atteint le bord de fuite, Dans un mémoire paru en janvier 1853 dans
celui passé par l’extrados est loin en aval les Comptes rendus de l’Académie des
du bord de fuite… sciences, Augustin Cauchy (1789-1857)
reprend et complète une théorie qu’il avait
élaborée au cours des années 1820 : il
montre comment, dans un écoulement vis-
d’écarter ce résultat, physiquement impos- queux, un petit élément (volume) de fluide
sible, G. Cayley pense que les frottements, peut se déformer et surtout tourner, tout en
négligés jusqu’ici, devaient limiter la finesse à avançant (son volume peut également chan-
une valeur raisonnable. On avait donc besoin ger si le fluide est compressible). En effet,
d’une théorie rendant compte des frotte- pris « en sandwich » entre deux feuillets ne
ments… s’écoulant pas à la même vitesse, un élément
de fluide a tendance à tourner, à tourbillon-
• La viscosité ner, dans le sens que lui impose le feuillet le
C’est en 1822 que Claude Navier (1785- plus rapide. Et, de manière générale, les gra-
1836) écrit l’équation d’un écoulement dients de vitesses sont propices à la formation
incompressible, dans laquelle il inclue un de tourbillons.
terme traduisant une certaine forme d’interac- L’Allemand Hermann von Helmholtz
tion – répulsive et attractive – entre les parti- (1821-1894) introduit alors en hydrodyna-
cules. Vingt-et-un ans plus tard, en 1843, mique une nouvelle grandeur qu’il baptise
Jean-Claude Barré de Saint-Venant (1797- « vorticité ». Propriété locale, variant d’un
1886) identifie ce terme comme étant, en fait, point à un autre dans un écoulement, la vorti-
l’expression de la viscosité, et établit l’équa- cité en un point indique si ce point est un
tion de Navier d’une manière plus correcte centre de « tourbillon » (c’est-à-dire si du
fluide tourbillonne autour de lui). A la fin des
années 1850, H. Helmholtz démontre
quelques-unes des propriétés des « lignes » et
(2) G. Cayley ignorait les idées de L. de Vinci, puisque les tra- des « nappes » de tourbillon, respectivement
vaux de ce dernier n’étaient pas connus à l’époque.
des lignes formées par les axes de rotation de(3) En réalité, G. Cayley commettait quelques ereurs, mais il
n’est pas possible de détailler cela ici. centres de tourbillon, et des surfaces formées22 D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3
FIGURE 3
Portance d’une plaque plate
en fonction de l’angle d’attaque
selon la théorie de Newton et
selon celle de Rayleigh, et la
courbe expérimentale obtenue
eà la fin du XVIII siècle. Rayleigh
remarque que sa théorie donne
des valeurs 2,27 fois inférieures
aux résultats expérimentaux.
par des lignes de tourbillon. Il montre par tains en étaient arrivés à croire que ce qui était
exemple qu’une ligne de tourbillon est néces- impossible… était le vol lui-même. Lord
sairement fermée, ou sinon, que chacune de ses Kelvin était peut-être de ceux-là… Il était per-
extrémités est située quelque part aux fron- suadé que le vol n’était possible qu’avec des
tières de l’écoulement, sur une paroi. Puis, en « plus légers que l’air » (montgolfière par
1868, observant des jets d’eau dans l’eau, et exemple).
des jets d’air enfumé dans l’air, H. Helmholtz
note que la frontière entre le fluide en mouve- • L’erreur de Kirchhoff-Rayleigh
ment et celui immobile est assez bien définie. Il Aussitôt, après la remarque de H. Helmholtz
introduit alors la notion de « discontinuité » relative aux surfaces de discontinuité,
des vitesses en hydrodynamique en notant l’Allemand Gustav Kirchhoff (1824-1887) et,
qu’une telle discontinuité – un saut brusque de indépendamment de lui William Strutt (1842-
vitesse à la frontière séparant deux écoule- 1919), plus connu sous le nom de Lord
ments - engendre un tourbillon. Rayleigh (1873), élaborent une théorie pour
William Thomson (1824-1907), plus connu rendre compte de la force que subit une
sous le nom de Lord Kelvin (1882), s’intéresse plaque placée dans un écoulement. En 1876,
également aux fluides en écoulement et, Lord Rayleigh présente un modèle dans
comme H. Helmholtz, démontre un certain lequel l’écoulement est à potentiel, et qui tient
nombre de théorèmes relatifs aux tourbillons et également compte de la discontinuité des
aux écoulements dits « tourbillonnaires », vitesses apparaissant entre l’air en mouve-
4ainsi qu’à ceux dits « à potentiel » ou « irro- ment et celui immobile au-dessus derrière la
tationnels », c’est-à-dire dont la vorticité est plaque. La théorie de Lord Rayleigh indiquait
nulle. En fait, n’importe quel écoulement de que la force normale à la plaque devait varier
2fluide peut être décomposé en deux sortes d’é- non pas comme sin α comme le stipulait la
coulements : tourbillonnaire et irrotationnel.
A titre anecdotique, signalons que
H. Helmholtz avait présidé une commission
(4) D’un point de vue mathématique, le terme « potentiel » sequi avait montré que le vol réalisé par la seule
rapporte au champ de vitesse, lequel dérive d’un potentiel.force humaine était impossible. Mais de
C’est J. Lagrange qui introduit le concept de potentiel de
déformation en déformation, plus personne ne vitesse (Mécanique analytique, 1787), mais c’est H. Helmholtz
qui forge, semble-t-il, l’expression « potentiel de vitesse ».savait très bien ce qui avait été démontré : cer-D É C O U V E R T E N ° 3 0 6 M A R S 2 0 0 3 23
théorie newtonienne, mais comme sinα / (a +
sinα), où a = 4 /π (fig. 3).
On abandonne vite cette théorie, car les
valeurs que l’on trouvait expérimentalement
pour la force normale à la plaque étaient plus de
deux fois supérieures à celles que prévoyaient
Rayleigh ! La raison en était que la théorie de
Rayleigh surévaluait la pression de l’air au-des-
sus de la plaque : elle lui attribuait la valeur
ambiante. Or, on sait aujourd’hui que cette
pression est plus faible que la pression atmos-
phérique et que c’est principalement cette
dépression qui est responsable de la portance.
En résumé, la théorie de Rayleigh rendait assez
bien compte de la surpression sous l’aile, mais
très mal de la dépression au-dessus.
• La force de Magnus
et l’idée de Lanchester
En 1672, I. Newton faisait remarquer qu’une
balle de Tennis décrivait une trajectoire
courbe lorsqu’elle tournait, tourbillonnait sur
elle-même tout en avançant. Soixante-dix ans
après lui, c’était au tour de l’ingénieur mili-
taire anglais Benjamin Robins (1707-1751) de
remarquer la même chose dans un autre
contexte : la déviation des obus d’artillerie
auxquels on communiquait un mouvement de
rotation. B. Robins publie ses résultats expéri-
mentaux en 1742. L. Euler considère qu’ilFIGURE 4
4a) d’Alembert introduit en hydrodynamique s’agit là d’un artefact sans intérêt qui résulte
le concept de point de stagnation (S , S ) et des défauts et des irrégularités des projectiles.1 2
montre que dans un écoulement non visqueux, Aussi, on oublie ce phénomène pendant
en raison de la symétrie de l’écoulement de
quelques temps, jusqu’à ce qu’en 1794
part et d’autre d’un obstacle, celui-ci ne subit
l’Académie des sciences de Berlin proposeaucune force de la part du fluide : c’est le
d’offrir un prix à la personne qui parviendraitparadoxe de d’Alembert. G. Magnus montre
que si à cet écoulement on superpose un à élucider la chose et expliquer le phénomène.
deuxième tourbillonnant autour de l’obstacle C’est en 1852 que Gustav Magnus (1802-
comme indiqué en 4b), l’écoulement aura la 1870), dont H. Helmholtz fut l’un des étu-
forme donnée en 4c) et le fluide exercera diants, apporte une explication satisfaisante
sur l’obstacle une force dirigée vers le haut :
après une série d’expériences où il soumettaitc’est la force de Magnus. F. Lanchester
un cylindre en rotation à un jet d'air. En 1877,remplace l’obstacle, sphérique sur cette figure,
L. Rayleigh s’intéresse lui aussi à ce phé-par une aile d’avion et identifie la portance
d’une aile à une force de Magnus. nomène, appelé « effet Magnus » : il montre