Agrégation de mathématiques : exercices d'alg`ebre 2007-2008 ...

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Agrégation de mathématiques : exercices d'alg`ebre 2007-2008 ...

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Agr´egationdemathe´matiques: exercicesd’alg`ebre 2007-2008 Arithme´tique,anneaux,corps,polynoˆmes

P. HUBERT

1Exercicesclassiques,a`faireenpriorite´

Exercice 1: [Indicateur d’Euler] Soit n un nombre entier naturel non nul, on pose : φ ( n ) = card { k, 1 ≤ k ≤ n, tels que k et n sont premiers entre eux } . Le but de l’exercice est de montrer la formule ( ? ) : X φ ( d ) = n. d/n [[Soit d un diviseur de n , on montre qu’il y a φ ( d )e´l´ementsd’ordre d dans Z /n Z .]] 1. Soit m une´le´mentd’ordre d dans Z /n Z , montrer que m appartient au sous- groupe H de Z /n Z engendre´par n d . 2.Montrerquelese´l´ementsd’ordre d dans H sont ceux de la forme : k d n o`u k et d sont premiers entre eux. 3. Conclure qu’il y a exactement φ ( d )´ele´mentsd’ordre d dans Z /n Z . 4. Prouver la formule ( ? ).

Exercice 2: Soit ( A, + , . )unanneaucommutatifetunitaire.Onditqu’un´el´ementde A est nilpotent s’il existe un entier n non nul tel que x n = 0. 1.Montrerquel’ensembledese´le´mentsnilpotents,munidel’addition,estun sous-groupe de ( A, +). 2. Montrer que, si x est nilpotent, 1 − x est inversible.

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