Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice ...

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Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice ...

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• mathématiques
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Alg ` ebreetArithm ´ etique Universite´deNiceSophia-Antipolis

COURS

´ ´ GROUPE SIMPLE, CENTRE ET GROUPE DERIVE

Groupe simple

Mathe ´ matiquesL3 Ann´ee2008-2009

D´efinition.Un groupe (G, ?, e) est ditsimpleniugidtspuseg-orauxriviontt´esslseuussosissse ({e}etG).

Exemples. •Z/pZavecppremier.[]emD´tronleer   •Le´euorglaepnretA n := Kersignature :S n → {+1,−1}.lptsenoisu´ead[Lattrnsmo hardue.]

L’utilit´edelanotiondequotientestdepermettred’´etudierlesgroupesdelamanie`resuivante.Si un groupeGussounercherchutepno,”sorg“tseegn´usiitpudeg-orHraoluoprsuldeigen´ete.O ` quotientG/Hmereaiss“pusplntA.”titeedritrapuqsie´ecrenaHet deG/Hpse´err,onpeute reconstruireG.eradfeiadele`ireourseducsuitnslauttotien.Nervsuoorrenusnname Cetteme´thodenepeutpaseˆtreappliqu´eeauxgroupessimples.Ilsformentles“briquesdebase” delath´eoriedesgroupes,unpeucommelesnombrespremierspourlathe´oriedesnombres. Laclassificationcomple`tedesgroupesfinissimplesn’ae´t´eacheve´equetre`sre´cemmenten...1981.

Centre Lorsqu’ungroupen’estpasab´elien,commentpeut-onmesurerlede´fauta`nepasl’eˆtre? D´efinition.Lecentred’un groupe (G, ?, e)-srguoepseltseuoels´me´ermfode´enummtnetqstnociu avec tous les autres :

Z(G) :={x∈G| ∀g∈G, g ? x=x ? g}

[Montrer que c’est bien un sous-groupe deG.]

Proposition.Le centreZ(Ge´ed)utseuosngrs-peoustdiguinG.

D ´ emonstration.D´e.ererlmont

Exemples. •Un groupeGmeeslesintiieeenlsebu´ttsaZ(G) =G. •Pourn≥3, on aZ(S n ) ={id}.[Montrer le.]

Pluslecentred’ungroupeest“petit”,pluslegroupeestloind’eˆtreabe´lien. 1

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