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Algèbre Anneaux - Corps

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Algèbre Anneaux - Corps

Publié par :
Ajouté le : 21 juillet 2011
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Algèbre Anneaux  Corps
Denis Vekemans
Exercice 1Soit(A,+,0A)un groupe abélien. On munit l’ensembleAd’une autre loi binaire, en posantab= 0A, pour touta, bA. Montrer que(A,+,)est un anneau commutatif.
Exercice 2Soit
2Z={2ztels quezZ}.
Montrer que(2Z,+,)est un anneau commutatif.
Exercice 3(Mars 2004) Soit(R,+,)l’anneau des nombres réels. L NL 2 On définit deux nouvelles loiset surRde la manière suivante :(x, y)R, on posex y= N x+y2etx y=xy2x2y+ 6. L 1. Montrerque(R,)est un groupe abélien. L N 2. Montrerque(R, ,)est un anneau commutatif unitaire.
Exercice 4 On pose
et
On considère le produit cartésienZ×Z={(a, b)tels queaZ, bZ}.
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
(a, b)(c, d) = (ac, ad+bc)
pour tout(a, b),(c, d)Z×Z. Montrer que(Z×Z,+,)est un anneau commutatif. L’anneau(Z×Z,+,)?estil unitaire
Exercice 5Soit(A,+,)un anneau commutatif. Notons0et1respectivement le neutre pour+et pour. SoitPune partie deAtelle que Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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