Algebre et Geometrie Mar el Morales

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Algebre et Geometrie 26-09-07 Mar el Morales E designera un Kespa e ve toriel de dimension nie. Rappels: Ne pas onfondre F sev propre( F 6= 0; F 6= E), et sev propre de l'endomorphisme u. Division eu lidienne dans K[X ?. Theoreme de Bezout dans K[X ?. K[X ? est un anneau integre a fa torisation unique. Tout ideal de K[X ? est prin ipal. De rire les elements irredu tibles dans lC [X ?, puis dans IR[X ? Si P;Q 2 K[X ? et u est un endomorphisme de E alors P (u)ÆQ(u) = Q(u)ÆP (u), en parti ulier l'ensemble fP (u) j P 2 K[X ?g est une sous algebre ommutative de End K (E), et pour tout polyno^me P (X) l'espa e ve toriel ker(P (u)) est invariant par u. Theoreme 0.1 Lemme des noyaux: Si P (X) = Q 1 (X)Q 2 (X) et Q 1 (X); Q 2 (X) sont premiers entre eux alors Ker P (u) = Ker Q 1 (u)Ker Q 2 (u) Theoreme 0.2 Le polyno^me ara teristique u est s inde dans K si et

• ve toriel de dimension


• irredu tibles


• ra ine du polyno


• elements irredu


• deni dans la base anonique


• morphisme restri

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