Algèbre Polynômes

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• Publié par: eqaloxoq
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Extrait

Algèbre Polynômes

∗ Denis Vekemans

4 32 Exercice 1Soit le polynômeP=X+ 5X+ 10X+ 12X+ 8. 1. Démontrerque−2est racine double du polynômeP. 2. FactoriserPdansR[X]. 3. Déduireles racines dePdansC.

4 2 Exercice 2Soit le polynômeP=X+X+ 1. 1. Déterminerles racines dePdansC. 2. FactoriserPdansC[X]. 3. Endéduire une factorisation dePdansR[X].

n Exercice 3Soitn∈N. Soit le polynômeP n =X. 2 1. Déterminerle reste de la division euclidienne deP n parA 1 =X−3X−4. 2 2. Déterminerle reste de la division euclidienne deP n parA 2 =X+ 1.

4 3 2 Exercice 4Soit le polynômeP=X−4X+ 5X−2X−6. 1. Onse propose de démontrer quePn’a pas de racine double. 1 ′ (a) On se propose d’effectuer la division euclidienne de2PparP. On noteRle reste de cette 2 division euclidienne. 1 ′ (b) Effectuerla division euclidienne dePparR. On noteTle reste de cette division euclidienne. 2 (c) Démontrerque siaest une racine double deP, alorsaest racine deRet deT. (d) DémontrerquePn’a pas de racine double. 2. Onse propose de factoriserPdansR[X]. (a) OnposeX=Y+ 1etQ(Y) =P(Y+ 1). CalculerQ(Y). ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

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