ANALYSE DE FOURIER

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ANALYSE DE FOURIER 1. SÉRIE DE FOURIER 1.1 Théorème Toute fonction 0T -périodique du temps f(t), à valeurs complexes, suffisamment régulière, peut être décomposée en une somme d'un nombre fini, ou infini, de composantes sinusoïdales discrètes, ou : harmoniques, dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale 0 0 1 T =ν . L'analyse de Fourier permet une représentation de l'amplitude des harmoniques d'un signal en fonction de la fréquence.

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ANALYSE DE FOURIER

1. SÉRIE DE FOURIER

1.1 Théorème Toute fonctionT-périodiquedu tempsf(t), à valeurs complexes, suffisamment régulière, peut être 0 décomposée en une somme d’un nombre fini, ou infini,de composantes sinusoïdales discrètes, 1 ou :harmoniques, dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentalen 1. 0 T 0 L’analyse de Fourier permet une représentation de l’amplitude des harmoniques d’un signal en fonction de la fréquence. Chaque composante sinusoïdale apparaît comme une ligne verticale, appeléeraie. Sa hauteur représente l’amplitude correspondante, sa position donne sa fréquence. La représentation du signal dans le domaine fréquentiel est appeléespectredu signal. T #¥ 0 1 2ipnnt %2ipnnt 0 0 Le développement en série de Fourier s’écrit :f(t)1C eavecC1f(t)edt. Il ∑ ∫ n n T n1%¥ 0 0 y a unicité de ce développement. Le spectre def faitdonc intervenir des fréquences négatives, mais pour une fonctionfon a réelle, * C1C n d’où : %n #¥ #¥#¥ %2ipnnt2ipnnt2ipnnt2ipnnt * 0 00 0 f(t)1C#C e#C e1C#C e#(C e) ] 0 ∑ %n ∑ n0 ∑ n n n11n11n11 # ¥   2ipnnt 0 0 ∑ n 1C#2ReC e      n11  On peut donc ne considérer que les fréquences positives. Le spectre est alors par exemple la T 0 1 représentation de2C1cpourn 1 n,2n,3n,...,nnet deC1c1f(t)dt1fpour0 . ∫ n n00 0 00 0 T 0 0

1.2 Autre forme pour une fonction à valeurs réelles 1 2 PosonsC1(a%ib) pourn0 etW 112pn. On a alors : n nn0 2T 0 #¥#¥   inWt 0 0 ∑ f(t)C2 ReC e  1c#acos(nWt)#bsin(nWt1 #  ∑ n nn )    n11  n11 T 0 1 CommeC1f(t) [ cos(nWt)%isin(nWt) ] dt, on en déduit les coefficientsc,aetb: ∫ n0n n T 0 0 T TT 0 00 1 22 c1f(t)dt1f;a1f(t) cos(nWt)dtetb1f(t) sin(nWt)dt. ∫∫∫ 0n n T TT 0 00 0 00 #¥ 2 2 ∑ On a aussif(t)1c#ccos(nWt# y)avecc1a#b12C 0n nn nn n n11 C’est la forme vue initialement en cours.

2. TRANSFORMÉE DE FOURIER

2.1 Théorème Toute fonctionnon périodique dutempsf(t), à valeurs complexes, suffisamment régulière, peut également être représentée dans le domaine fréquentiel par un spectre, fonction continue de la fréquence, donné par la transformée de Fourier : #¥#¥ ~ 2ipnt ~ ~ %2ipnt f(t)1f(n)ednoùf(n)est la transformée de Fourier def, donnée parf(n)1f(t)edt. ∫∫ %¥%¥ Le spectre def faitdonc intervenir des fréquences négatives, mais pour une fonctionfon a réelle, ~ ~ * f(%n)1f(n), d’où : 0#¥#¥ #¥ ~ 2ipnt ~ 2ipnt ~ %2ipnt ~ 2ipnt f(t)1f(n)edn #f(n)edn 1f(%n)edn #f(n)edn ∫ ∫∫ ∫ %¥00 0 # ¥# ¥   ~ 2ipnt ~ 2ipnt* ~ 2ipnt 1 [ f(n)e#(f(n)e) ] dn 12Re  f(n)edn  ∫ ∫   0  0  On peut donc ne considérer que les fréquences positives. Le spectre est alors par exemple la ~ représentation de2f(n)pour³0 .

2.2 Démonstration f(t) Considéronsf(t)périodisée de, la « T 0 f», fonctionT-périodique qui s’identifie 0 f(t)  T T  T 0 0 0 avecfsur l’intervalle % , .On peut    2 2  T T 0 0 % lui appliquer le théorème de Fourier pour 2 2 les fonctions périodiques : T 0 #¥ 2 déf 2ipnnt 1 %2ipnnt 1 ~ 0 0 0 ∑ 0 0 f(t)1C e avec C1f(t)edt1f(nn ) .Comme entre deux fréquences ∫ T nn TT0 T T n1 0 0 %¥ T 0 % 2 1 consécutives présentes dans le spectre def(t), on aDn 1(n#1)n %nn 1n 1, on peut écrire T00 0 0 T 0 #¥ ~ 2ipnn 0 t T 0 ∑ T 0 0 f(t)1f(nn)eDn. n1%¥  f(t)|f(t) T 0  # ¥  ~ ~ %2ipnnt 0 LorsqueT| #¥, on a :f(nn)|f(nn)1f(t)edt 0  T0 0 ∫ 0  %¥  Dn |dn  #¥ # ¥ ~ 2ipnnt ~ 2ipnt 0 On a alorsf(nn)eDn |f(n)edn puisquepournÎ ] %¥,#¥,n 1nn varie ∑ 0 ∫ T00 n1%¥ %¥ continûment entre¥et¥lorsquen 1Dndevient infiniment petit. 0 #¥ #¥ ~ 2ipnt ~ %2ipnt On a bienf(t)1f(n)ednavecf(n)1f(t)edt. ∫ ∫ %¥ %¥

2.3 Propriétés · Ily a unicité de la transformée de Fourier TF ·TF est linéaire : LaTF(f g) TF(f) TF(g) ·TF TF(f) ] (t)1f(%t) %2ipnt ~ 0 · Translation:TF [ f(t%t) ] (n)1e×f(n) 0 #¥ %2ipnt Démonstration :TF [ f(t%t) ] (n)1f(t%t)edt. On effectue le changement de variables : ∫ 0 0 %¥ #¥ #¥ %2ipn(t ¢# t)%2ipnt %2ipnt ¢ % 2ipnt ~ t1t%t, alorsTF [ f(t%t) ] (n)1f(t ¢ )edt ¢1 e f(t ¢ )edt ¢1 e×f(n) 0 00 ∫ ∫ 0 0 %¥ %¥   t  ~ ·: SimilitudeTFf   (n)1l×f(ln)   l   #¥    t   t  %2ipnt Démonstration :TFf   (n)1f   edt. On effectue le changement de variables :   ∫ l l    %¥ # ¥  %2ipnlt ¢  f(t ¢ )eldt ¢ sil 20 ∫ t   t   %¥ ~ t ¢1 , alorsTFf   (n)1soit dans tous les casl ×f(ln)    %¥ ll    %2ipnlt ¢ f(t ¢ )eldt ¢ sil 00 ∫   # ¥ ~ Cette propriété est fondamentale: f(t) f(n) une dilatation de l’échelle des temps implique une contraction de celle des fréquences (1). Une contraction de l’échelle des temps implique une dilatation de celle des fréquences t ( 1).En d’autres termes:plus un signal temporel est bref, plus il est  t   t  f   riche en fréquences (spectre TFf   ( n )  l    étalé) ;plus il dure longtemps, moins il contient de fréquences (spectre étroit). n l × D t t

2.4 Exemples f(n) f(t) Dt ·Fonction « fenêtre » 1 Dt Dt # # 2 %2ipnt   2 ~ %2ipnt e f(n)1edt1   ∫ %2ipn Dt   Dt   % % Dn 2 t 2 D t Dt ipnDt%ipnDt % 2 11 2 e%e 2 1 Dt1 Dtsinc(pnDt) 2 t t t t 2ipnDt sinX ~ avecsinc(X)1fonction sinus cardinal. On peut ici représenterf(n)qui est réelle. X Avec la définition de la largeur de bande spectraleDnde la figure, on aton retrouve que2 : plus le signal dure longtemps, plus sa bande spectrale est petite.

·Fonction « gaussienne » 2   2 2  ipn  p n 2 2 p n %b  t##  # ¥# ¥ 2 # ¥ % ~   b b 22 2 %bt%bt%2ipnt   b %bu f(t)1e d’oùf(n)1e edt1edt1e edu, en effectuant le ∫ ∫∫ %¥ %¥%¥ #¥ ipp 2 %bu changement de variableu1t#(et en admettant sa validité). Commeedu1, on a : ∫ bb %¥ 2 2 p n % p ~ b f(n)1e: la TF d’une gaussienne est également une gaussienne. On peut ici représenter b ~ f(n)qui est réelle. f(t) f(n) Le calcul des largeurs à mi-hauteur des deux gaussiennes donne: 2 ln222 ln Dt1 etDn 1b d’où n b p t 4 ln 2 Dt× Dn 1: on retrouve que plus p le signal dure longtemps, plus sa bande spectrale est petite.

f(t) 2.5 Distribution de Dirac e 1 · Définition e On l’obtient en prenant la limite des fonctionsf(t) lorsque0 : e d(t)1limf(t) .d(t) correspond donc à une impulsion idéale : e e |0 #¥ e e 0 pourt¹0  1 % ∫ d(t)1  . Cependant, commef(t)dt11 e×1, cette 2 2 e #¥pourt10 e  %¥ #¥ propriété reste vraie pour la distribution :d(t)dt11alors que l’aire sous la courbe serait nulle pour ∫ %¥  0 pourt¹0 la fonctionta  # ¥pourt10  · Propriétés #¥#¥ — Sifest une fonction régulière quelconquef(t)d(t)dt1f(0)d(t)dt1f(0) ∫ ∫ %¥%¥ #¥ —f(t)d(t%t)dt1f(t) ∫ 0 0 %¥ #¥ ~ %2ipnt — TF:d(n)1d(t)edt11. Un signal de durée nulle possède en effet une largeur spectrale ∫ %¥ infinie. #¥ #¥ pn ~ 2i 0 t 2ipnt2ipnt —e1(nn%d)edn. Commef(t)1f(n)edn, on en déduit que la transformée de ∫ ∫ 0 %¥ %¥ 2ipnt ~ 0 Fourier def(t)1e estf(n)1d(n%n). Le spectre d’un signal sinusoïdal (de durée infinie) ne 0 contient qu’une raie pour sa fréquencen. Sa largeur spectrale est nulle. 0 Ainsi, pour qu’un instrument produise un son le plus sinusoïdal possible, il faut qu’il vibre longtemps. C’est ce que réalise approximativement un diapason. Néanmoins, la durée d’un signal réel étant forcément finie, sa largeur spectrale peut être faible, mais jamais nulle. La composante sinusoïdale d’un signal complexe n’a donc pas de réalité physique.

— Lorsqu’une fonction estT-périodique, elle admet un développement en série de Fourier : 0 T #¥ 0 #¥ 1 2ipnnt 1 %2ipnn 0 t2ipnn 0 t 2ipnt 0 f(t)1C eavecn 1etC1f(t)edt. Commee1ed(n%nn)dn ∑ n0n0 ∫∫ T T n1%¥ 0 0 0%¥ 2ipnnt 0 on en déduit que la transformée de Fourier dee( estd n%nn) etque celle de 0 #¥ #¥ 2ipnn 0 t ~ ∑ n ∑ n0 f(t)1C eestf(n)1Cd(n%nn): le spectre d’une fonction périodique est discontinu, n1%¥ n1%¥ 1 il ne contient que les fréquences multiples den 1. L’amplitude des raies est infinie et 0 T 0 proportionnelle aux coefficientsC, le spectre est par convention la représentation de2C pour n n T 0 1 n 1 n,2n,3n,...,nnet deC1f(t)dt1fpour0 . ∫ 0 0 00 0 T 0 0

3. APPLICATIONS

3.1 Réponse d’un système linéaire à une entrée quelconque — La représentation usuelle d’une grandeur physique est lareprésentation temporelle. Comme les systèmes physiques linéaires possèdent la particularité de donner à une excitation sinusoïdale une réponse forcée sinusoïdale de même fréquence, on voit tout l’intérêt que peut avoir la décomposition d’un signal quelconque en une somme de sinusoïdes de fréquences différentes (représentation fréquentielle). On peut grâce à cette représentation fréquentielle déterminer la réponse d’un système linéaire à une excitation quelconque. #¥ ~ 2ipnt Pour une entréef(t)1f(n)ednon a une réponseR(t). ∫ %¥ 2ipnt2ipnt La réponse à une entrée sinusoïdalee estégalement sinusoïdale: elle s’écritH(n)e, où H(n) est la fonction de transfert du système linéaire (souvent notéeH(jLa linéarité du système) ). (réponse à une somme d’entrée = somme des réponses) entraîne donc : #¥ ~ 2ipnt R(t)1H(n)f(n)edn ∫ %¥ #¥ ~ 2ipnt ~ — Réponse à une impulsion. On alorsf(t)1 d(t)1 d(n)edn, or on a vu qued(n)11. On en ∫ %¥ #¥ 2ipnt ~ déduit queR(t)1H(n)edn:, soitH(n)1R(n)1TF [ R(t) ] (n):la fonction de transfert d’un ∫ %¥ système linéaire est égale à la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. Onpeut expérimentalement obtenir la fonction de transfert d’un circuit linéaire à l’aide d’un générateur d’impulsions et d’un analyseur de spectre.

3.2 Résolution d’équations linéaires aux dérivées partielles ·résoudre par exemple un problème de conduction thermique dans un cylindre infini Pour

3.3 Applications en optique ondulatoire · Interférogrammes · Diffraction