Ann Inst Fourier Grenoble

Gt102

Description

Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55, 7 (2005), 2423–2474. Sommes des chi?res de multiples d'entiers Cecile Dartyge & Gerald Tenenbaum Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Enonces des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Valeurs de ?·sq(hn) et majorations de |Gr(x, y;?;?,h,k)| . . . . . . . . . . . 4 2.2 Quelques pas vers la conjecture de Gelfond et d'autres applications du Theoreme 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Applications aux progressions arithmetiques . . . .

• vertu de la version multidimensionnelle du theoreme de dirichlet


• preuve du theoreme


• sommes des chi?res de multiples d'entiers


• applications au theoreme


• entierm ?

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• Tannenbaum

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Extrait

Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55, 7 (2005), 2423–2474.

Sommes des chiffres de multiples d’entiers Ce´cileDartyge&G´eraldTenenbaum

Sommaire 1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 ´ 2Eno ´s des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 nce 2.1 Valeurs de α ·s q (hn) et majorations de|G r (x, y;ϑ; α ,h,k)|. . . . . . . . . . .4 2.2 Quelques pas vers la conjecture de Gelfond et d’autres applications du Th´eoreme 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ` 2.3 Applications aux progressions arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.4 Valeurs moyennes `a coefficients multiplicatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3siaermini´rlepaesmeceetntaud’sertitseitampsnoUrne´ustlta’d. . . . . . . . . . .14 4´’devitceffenoasinoleStdtaulesersiVTu´hoe`rp:ervudeeme2.3.. . . . . .19 un r 5Applications aux sommes d’exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 23 6itnoveailrlapsuoGesd´randbioiminoeal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24 7ueevudhTe´roe`em1.P2r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8duTheuvePr5.2roe´eme`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9nsduTh´Aepplicatio:5rpueevroe`em.2taul´etsessdesr´ucnonase´§2.2. . . .32 9.1PreuveduThe´ore`me2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9.2PreuveduTh´eor`eme2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9.3PreuveduTh´eor`eme2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 9.4PreuveduTh´eor`eme2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 10Sommes des chiffres et progressions arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 11Sommes des chiffres et fonctions multiplicatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

1. Introduction Soitq2.uPonal`aesr´aeugmeonitinrun∈N, notonss q (n) la somme des chiffres denen baseq. Danslesderni`eresd´ecennies,denombreusesrecherchesontport´esurlare´par- tition asymptotique de la fonction vectorielle n→s q (hn) :=  s q (h 1 n), . . . , s q (h r n)  (h:= (h 1 , . . . , h r )∈N ∗ r ) On pourra notamment consulter les travaux de Stolarsky [22], Schmidt [18], Schmid [17] pour le casq= 2. Dans[17](th´eore`me1.1,p.392),Schmiddonneenparticulier,pourh∈N ∗ r et a∈Z r xfibleandlraidsnmelee’tompsynaucedqutieenu,se´oitamits {0nx:s q (hn) =a} lorsquex→ ∞.

2 ´ G&elareneTdCci ´ eDale rtyg enbaum D’autres informations sur la loi limite du vecteurs q (hnentveeu)ptiseedsrtdee´ud ˆ r´esultatsg´en´erauxdeIndlekoferetKatai[11],[12],concernantlesvaleursmoyennes de fonctions de la formen→g 1 (h 1 n)· · ·g k (h k n)ulo`esg j (1jk) sont des fonctionsq-multiplicatives (1) de module 1 : en effet, le choixg j (n) := e it j s q (n) avec t j ∈Rfournit la transform´ee de Fourier multidimensionnelle de la loi de r´epartition des q (hn). To´sultatssontvalablesuniquementlorsquelevecteur`acoordonne´es us ces re entie`reshitnouqseacete´il.Ladfix´eestneencdaenepd´ladehdes termes d’erreurs et des constantes implicites n’y est pas abord´ee. L’objet principal de ce travail consiste `a preciser quantitativement, y compris du ´ point de vue de l’uniformit´e enh∈N ∗ r , le degr´e d’ind´ependance asymptotique des suitesn→s q (h j n)eaere`tcaracnu’dtiplimultifouddit.facit (2) enloorˆtUcn effectif du param`etrehnoitacilsavs’re`eneffeterccuaipluordenombreusesapp arith´etiques. m Pourh:= (h 1 , . . . , h r )∈N ∗ r ,k∈N r ,α∈R r ,ϑ∈R, nous introduisons les produits scalaires α·s q (hn) =  α j s q (h j n), 1jr α·s q (hn+k) =  α j s q (h j n+k j ). 1jr Commes q (qn) =s q (n) pour tout entiernuon,uopseral´en´it´eassnovsndegeeptr restreindrel’e´tudeden→α·s q (hnosu`caau)qh j pour 1jr. Par commodit´e, nous appliquons cette mˆeme restriction au cas den→α·s q (hn+k). Posons e(t) := exp(2iπt) (t∈R).Une mesure de l’ind´ependance asymptotique e´voque´eplushautestfournie,danslecasd’uncaract`ereadditif,parlamajoration des sommes  longues  (1·1)G r (x;ϑ) =G r (x;ϑ;α,h) :=  e  α·s q (hn) +ϑn  , nx et  courtes  G r (x, y;ϑ) =G r (x, y;ϑ;α,h) :=G r (x+y;ϑ;α,h)−G r (x;ϑ;α,h). Pourdesraisonspr´ecise´esplusloin,nousnousint´eressons´egalementa`lasomme G r (x, y;ϑ;α,h,k) :=  e  α·s q (hn+k) +ϑn  . x<nx+y 1. Une fonctionq-multiplicativegest une fonction arithm´etique v´erifiantg(a+q t b) = g(a)g(q t b) pour tous nombres entiersa0,b0,t0 tels quea < q t . 2.Commeonleverradansl’´´duTh´eor`eme2.12infra, nous englobons le cas d’un enonce caract`eremultiplicatifdanscelui,plusg´en´eral,d’unefonctionmultiplicative`avaleurs dans le disque unit´e.

Sommes des chiffres de multiples d’entiers 3 Lorsquer= 1, nous avons (1·2)G 1  q K −1;ϑ;α,1  =  e(αs q (n) +ϑn) =   e  d(α+ϑq k )  . n<qK 0k<K0d<q En exploitant cette identit´e, Gelfond [9] a ´etabli, pour chaque entierm1, l’existence d’une constanteλ=λ m,q ∈]0,1[ telle que l’on ait, uniform´ement pour 1j < m, (m, q−1) = 1,ϑ∈R,h∈N ∗ , (1·3)G 1 (x;ϑ;j/m;h)(hx) λ . Il a en outre montr´e que,λ 2,2  3)= (log/cette valeur est en fait optimale, log 4 ; comme l’attestent les r´esultats de Newman [15] relatifs au casr= 1,h= 3,ϑ= 0. Gelfond d´eduit en particulier de (1·3) que, sous la condition (m, q−1) = 1, on a  1 = md x +O(x λ ) , nx n≡b(modd) s q (n)≡a(modm) avecλ=λ m,q , uniformement ena,b,d,m. ´ Lorsquer2, l’identit´e (1·2), qui refl`ete laqe´tiviticnofaledonti-adds q , n’a plus lieu, et il faut recourir `a des techniques diff´erentes. En 1982, Coquet (voir [4], th´eoremes1et3),amontr´eque,silesparame`tresα∈R r ,h∈N ∗ r sont choisis de ` sorte quen→(q−1)α·s q (hn) ne soit pas constante modulo 1, on a pour chaque ϑ∈R, (1·4)G r (x;ϑ;α,h) =o(x). Cette estimation est uniforme enϑ, mais pas enh. Une version effective a ´ete ´ donn´eeparSolinas[21]lorsqueα∈Q r etϑ= 0. Cela lui a permis de calculer, pour tousa∈Z r ,m∈N ∗ , la densit´e de l’ensemble des entiersnsatisfaisant a ` ` s q (hn)≡a(modm). A la fin de son article, il cite (3) une majoration, ´etablie dans sath`ese[20],de  G r (x;α,h; 0)  en fonction deH:= [h 1 , . . . , h r ] et du ppcmmdes denominateurs desα j , soit ´ (1·5)  G r (x; 0;α,h)   21 11 H 2 x 1−δ(H,m) (x1), avecδ(H, m sin) := 4 2 (π/2m)/{q 4 H 2 log(q 4 H 2 )}s’il existe unjtel quem a j (q−iuitqfdncu´dieprux´eocstnaieucesopurustlusertaedecer´e.Lapreuv)1 permetdere´duireleproble`mea`l’e´valuationdespuissancesd’unematricedetaille H×H1erauspostes(xsuie´deacila`etnarttetenichesqublemC.te·1) lorsqueϑ= 0 carlamatriceprendalorsunevaleurdiff´erentea`chaquepasdelar´ecurrence. 3. Nous rectifions une coquille dans cette assertion.

4 nbnemTealudra ´ e&GgeytraDelice ´ C Lapremi`erepartiedecetravailestd´evolue`alamajorationdesquantit´s e  G r (x, y;ϑ;α,h,k)  ultatsobtenusson´tneno´cseuaaparseL.se´ruonu`o,1.2ehpargs mentionnons ´egalement des majorations moins fortes mais valables pour desr- upletshpour lesquels h ∞ := 1 m j a  x r |h j | est de l’ordre dex. Nous d´eveloppons ensuite divers types d’applications, qui sont explicit´ees aux paragraphes 2.2 `a 2.4.

´ 2.Enonc´esdesresultats ´ 2 · 1. Valeurs deα · s q ( h n)et majorations de | G r (x, y;ϑ;α, h , k ) | Notrere´sultatprincipalfournituneestimationuniformeenϑet cependant effective relativement aux vecteurshetk. Nous notons traditionnellementω(n), ou parfois, pour all´eger les notations,ω n , le nombre des facteurs premiers, compt´es sans multiplicit´e, d’un entiern1. Nousde´signonsparula distance d’un nombre r´eelusitre`emns’ealenesedbl etnouse´tendonslad´efinition`aR r en posant u:= 1 m j a  xu j   u∈R r  . r ´ Etant donn´es un vecteurα∈R r et un entierX1, il existe, en vertu de laversionmultidimensionnelleduth´eore`medeDirichlet(voirparexemple[24], lemme II.1.14.1), un entierm∈[1, X r ] tel quemα1/X.Nous notonsm(α;X r ) le plus petit des entiersmurectesunvaloropprteettcanisfaetsixelI.e´te´irisats a ´ =a(α;X)∈Z r tel quemα−a ∞ 1/X. Etantdonne´eunepuissancedeq, disons!=q ν , nous notons (2·1)n=  e j (n)! j j0 led´eveloppementd’unentierg´en´eriqueenbase!et posons, pourE0, D0, N(E, D;!) :={n0 :e j (n) = 0 (E < jE+D)}. Ainsin∈N(E, D;!) si, et seulement si,n=a+! E+D bavec 0a < ! E ,b0. The´ore`me2.1.Soientr∈N ∗ ,α∈R r , eth∈N ∗ r unr-uplet dont les coordonn´ees sontdeuxa`deuxdistinctesetnondivisiblesparq. On poseh:=h ∞ . Il existe des constantes strictement positivesδetK,ned´ependantquedeqetr, telles que lesassertionssuivantessoientv´erifi´ees. Notons (2·2)X := 84(q− l 1)r o h g l q og(2Kqh) , m:=m  α;X r  .