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Description

  • leçon - matière potentielle : sur l' interpolation
Quadrature Denis Vekemans ∗ Les notations utilisées sont celles de la leçon sur l'interpolation. Le but est d'obtenir une valeur numérique approchée de l'intégrale définie I = ∫ b a f(x)ω(x)dx où a < b et ω est une fonction donnée qui ne s'annule pas sur ]a, b[ et qui est intégrable sur [a, b]. Les méthodes du type interpolation.
  • polynôme vn satisfaisant aux conditions du théorème
  • formule d'interpolation
  • méthode de quadrature
  • ζx ∈
  • abscisses d'interpolation de façon optimale
  • plc1 quadrature
  • ︷︷ ︸
  • vn
  • théorèmes
  • théorème
  • conditions
  • condition

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Langue Français

Exrait

Quadrature
∗Denis Vekemans
Les notations utilisées sont celles de la leçon sur l’interpolation.
Le but est d’obtenir une valeur numérique approchée de l’intégrale définie
Z b
I = f(x)ω(x)dx
a
où a<b et ω est une fonction donnée qui ne s’annule pas sur ]a,b[ et qui est intégrable sur [a,b].
Les méthodes du type interpolation.
Dans ces méthodes, l’idée est d’approcher la fonctionf par son polynôme d’interpolationP en les pointsn
d’abscisses x , x , ..., x .0 1 n
On a f =P +E .n n
D’où Z Z Zb b b
f(x)ω(x)dx = P (x)ω(x)dx+ E (x)ω(x)dx.n n
a a a
En utilisant la formule d’interpolation de Lagrange, il vient
Z Zn b bX
(n)I = L (x)ω(x)dxf(x )+ E (x)ω(x)dx.i ni
a ai=0| {z }
(n)
=A
i
RP (n) bnOn prendra A f(x ) comme approximation de I et R (f) = E (x)ω(x)dx comme erreur dei n ni=0 i a
quadrature.
Etude de la stabilité et de la convergence de quadrature.
La méthode de quadrature est stable si
nX
(n)
∀(ε ,ε ,...,ε ),∃M indépendante de n, telle que | A ε |≤M max|ε |.0 1 n i ii
i
i=0
La méthode de quadrature est convergente si
lim R (f) = 0.n
n→∞
Théorème 1
1. S’il existe M indépendant de n tel que
nX
(n)
|A |≤M,i
i=0
alors la méthode de quadrature est stable.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1PLC1 Quadrature 2008
2. Si la méthode de quadrature est convergente sur l’espace des polynômes et s’il existe M indépendant
de n tel que
nX
(n)
|A |≤M,i
i=0
alors la méthode de quadrature est convergente.
Démonstration
1. On a
n nX X
(n) (n)
| A ε |≤ |A |max|ε |, ∀n∈N,i ii i
i
i=0 i=0
| {z }
≤M
et par conséquent, la méthode est stable.
2. On a Z nb X
(n)
I = f(x)ω(x)dx = A f(x )+R (f), ∀n∈N,i ni
a i=0
et Z nb X
(n)
p (x)ω(x)dx = A p (x )+R (p ),n n i n ni | {z }a i=0
−→0
où p ∈P .n n
Par différence, on déduit
Z nb X
(n)(f(x)−p (x))ω(x)dx = A (f(x )−p (x ))+R (f)−R (p ).n i n i n n ni
a i=0
u
Le théorème de Weierstrass nous dit qu’il existe une suite de polynômes (p ) telle que p −→f.n n
Dès lors, on a
nX
(n)
A (f(x )−p (x ))−→ 0i n ii
i=0
car
nX
(n)
| A (f(x )−p (x ))|−→ 0i n ii
i=0| {z }
nX
(n)
|A |max |f(x )−p (x )|i i n ii
i=0
| {z }
≤M
et Z b
(f(x)−p (x))ω(x)dx−→ 0,n
a| {z }
R
b
≤||f−p || ω(x)dxn ∞ a
puis
R (f)−→ 0.n

–2/12– Mathématiques6
6
6
6
PLC1 Quadrature 2008
Formules de Newton-Côtes.
Il s’agit du cas où les abscisses d’interpolation sont équidistantes :
b−a
x =a+i , ∀i∈{0,1,...,n}.i
n|{z}
=h
De plus, on choisit ω(x) = 1, ∀x∈ [a,b].
On a vu que
nX f(x )i
P (x) =v (x) ,n n ′(x−x )v (x )i ini=0
avec
nY
v (x) = (x−x ).n j
j=0
Ainsi, Z b v (x)(n) n
A = dx.i ′(x−x )v (x )i ia n
x−aOn pose le changement de variable y = .
h
On calcule
n nY Y
′ n n n−iv (x ) = (x −x ) =h (i−j) =h (−1) i!(n−i)!i i jn
j=0 et j=i j=0 et j=i
et
nYv (x)n n=h (y−j).
x−xi
j=0 et j=i
Puis,
Z nn−i n Yb−a (−1)(n)A = (y−j)dy.
i n i!(n−i)! 0
j=0 et j=i
Remarques :
(1) (1) b−a b−a1. Pour n = 1, A =A = , et I = (f(a)+f(b))+R (f).10 1 2 2
(2) (1) (2)b−a b−a b−a a+b2. Pour n = 2, A =A = , A = 4 , et I = f(a)+4f( )+f(b) +R (f).20 2 16 6 6 2
Etude de l’erreur de quadrature de Newton-Côtes.
n+1On a vu que si f ∈C ([a,b]), alors
v (x)n (n+1)E (x) = (x−x )(x−x )...(x−x )⌈x,x ,x ,...,x ⌋ = f (ζ ),n 0 1 n 0 1 n xf| {z } (n+1)!
=v (x)n
avec ζ ∈ [a,b].x
On déduit l’expression de l’erreur de quadrature
Z Zb b v (x)n (n+1)R (f) = (x−x )(x−x )...(x−x )⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx = f (ζ )dx,n 0 1 n 0 1 n xf| {z } (n+1)!a a
=v (x)n
avec ζ ∈ [a,b].x
–3/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
Lemme 2
n+2Si f ∈C ([a,b]), alors
(n+2)d f (ζ )x⌈x,x ,x ,...,x ⌋ = ,0 1 n fdx (n+2)!
où ζ ∈ [a,b].x
Démonstration
n+1On a vu que si f ∈C ([a,b]), alors
(n+1)f (η )x
⌈x,x ,x ,...,x ⌋ = ,0 1 n f (n+1)!
avec η ∈ [a,b].x
D’où
(n+2)f (ζ )x
⌈x,x ,x ,...,x ,x+h⌋ = ,0 1 n f (n+2)!
avec ζ ∈ [a,b].x
Et, par définition des différences divisées,
=⌈x+h,x ,x ,...,x ⌋0 1 n f
z }| {
⌈x,x ,x ,...,x ⌋ −⌈x ,x ,...,x ,x+h⌋0 1 n 0 1 nf f
⌈x,x ,x ,...,x ,x+h⌋ = .0 1 n f (x+h)−x
| {z }
=h
Et, en faisant tendre h vers 0,
(n+2)d f (ζ )x
⌈x,x ,x ,...,x ⌋ = ,0 1 n fdx (n+2)!
où ζ ∈ [a,b].x

On donne la fonction V parn Z x
V (x) = v (t)dt.n n
a
Lemme 3
Pour n pair, on a V (a) =V (b) = 0 et V (x)> 0, ∀x∈ [a,b].n n n
Démonstration
a+b a+b a+bPuisque n est pair, v est antisymétrique par rapport à (i.e. v ( +x) =−v ( −x)).n n n2 2 2
Il s’ensuit V (a) =V (b) = 0.n n
a+bToujours suite à l’antisymétrie, il ne reste plus qu’à montrer que V (x)> 0, ∀x∈ [a, ].n 2
A l’aide du changement de variable t =a+uh,
Z x−a
h
n+2V (x) =h u(u−1)...(u−n)du.n
0
–4/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
– Pour u∈]0,1[, on a u(u−1)...(u−n)> 0 et donc V (x)> 0 pour x∈ [a,x ].n 1
– Pour u∈]1,2[, on a u(u−1)...(u−n)< 0 et donc V (x)>V (x ) pour x∈ [x ,x ].n n 2 1 2
Or
V (x )n 2
Z 2
n+2= h u(u−1)...(u−n)du
0 
Z Z 
1 2 
n+2 = h u(u−1)...(u−n)du+ v(v−1)...(v−n)dv 
0 1 | {z }
R1
= (u+1)u...(u+1−n)du avec u=v−1
0
Z 1
n+2= h (2u−n+1)u...(u+1−n)du .
0
Mais, pour u ∈]0,1[, on a (2u−n + 1)u(u− 1)...(u + 1−n) > 0 et donc V (x) > V (x ) > 0 pourn n 2
x∈ [x ,x ].1 2
– On suppose que V (x)> 0 pour x∈ [x ,x ] et que V (x)> 0 pour x∈ [x ,x ] et on veutn 2m 2m+1 n 2m+1 2m+2
montrer que V (x) > 0 pour x ∈ [x ,x ] et que V (x) > 0 pour x ∈ [x ,x ] lorsquen 2m+2 2m+3 n 2m+3 2m+4
n2m+4≤ .
2
– Pour u ∈]2m + 2,2m + 3[, on a u(u− 1)...(u− n) > 0 et donc V (x)− V (x ) > 0 pourn n 2m+2
x∈ [x ,x ], puis V (x)> 0 pour x∈ [x ,x ].2m+2 2m+3 n 2m+2 2m+3
– Pour u ∈]2m + 3,2m + 4[, on a u(u− 1)...(u− n) < 0 et donc V (x) > V (x ) pour x ∈n n 2m+4
[x ,x ].2m+3 2m+4
Or
V (x )n 2m+4
Z 2m+4
n+2= h u(u−1)...(u−n)du
0 Z 2m+2
n+2= h u(u−1)...(u−n)du
0 
 Z Z 2m+3 2m+4
 n+2+h  u(u−1)...(u−n)du+ v(v−1)...(v−n)dv 
 2m+2 2m+3 | {z }
R
2m+3
= (u+1)u...(u+1−n)du avec u=v−12m+2
Z 2m+3
n+2= V (x )+h (2u−n+1)u...(u+1−n)du .n 2m+2
2m+2
Mais, pour u ∈]2m + 2,2m + 3[, on a (2u−n + 1)u(u− 1)...(u + 1−n) > 0 et donc V (x) >n
V (x )> 0 pour x∈ [x ,x ].n 2m+4 2m+3 2m+4

–5/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
Théorème 4
n+2Si f ∈C ([a,b]), alors l’erreur de la formule de quadrature de Newton-Côtes pour n pair est
Zn+3 nh (n+2) 2R (f) = f (ζ) t (t−1)(t−2)...(t−n)dt,n
(n+2)! 0
où ζ ∈ [a,b].
Démonstration
On a Z b
R (f) = v (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx.n n 0 1 n f
a
Une intégration par parties donne
Zh i bb d
R (f) = V (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ − V (x) ⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx.n n 0 1 n n 0 1 nf f
a dxa| {z } | {z }
(n+2)f (ζ )=0, d’après le lemme 3. x= où ζ ∈[a,b], d’après le lemme 2.x(n+2)!
Puis, Z b(n+2)f (ζ)
R (f) = V (x)dx,n n(n+2)! a
où ζ ∈ [a,b], d’après le théorème de la moyenne.
Une intégration par parties donne
Z Zb b
bV (x)dx = [(x−a)V (x)] − (x−a)v (x)dx.n n na| {z }a a
=0, d’après le lemme 3.
En posant le changement de variable x =a+uh, on déduit
Z Z Zb n n
n+2 n+3 2xv (x)dx =h (uh)u(u−1)...(u−n)dx =h u (u−1)...(u−n)dx.n
a 0 0
Et, enfin, Zn+3 nh (n+2) 2R (f) = f (ζ) t (t−1)(t−2)...(t−n)dt,n
(n+2)! 0
où ζ ∈ [a,b].

Théorème 5
n+1Si f ∈C ([a,b]), alors l’erreur de la formule de quadrature de Newton-Côtes pour n impair est
Z nn+2h (n+1)R (f) = f (ζ) t(t−1)(t−2)...(t−n)dt,n
(n+1)! 0
où ζ ∈ [a,b].
–6/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
Démonstration
On a
Z Z Zb b−h b
R (f) = v (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx = v (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx+ v (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx.n n 0 1 n n 0 1 n n 0 1 nf f f
a a b−h
v (x)< 0 sur [b−h,b] et donc ne change pas de signe sur [b−h,b]. Donc,n
Z Zb (n+1) bf (ζ )1
v (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx = v (x)dx,n 0 1 n nf (n+1)!b−h b−h
avec ζ ∈ [b−h,b].1
D’autre part,
Z b−h
v (x) ⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dxn 0 1 n f|{z} | {z }a
⌈x,x ,x ,...,x ⌋ −⌈x ,x ,...,x ⌋=(x−b) v (x) nn−1 0 1 n−1 0 1 ff
=| {z } x−b
d= V (x)n−1dx
Z Zb−h b−h dd
= V (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx− V (x)⌈x ,x ,...,x ⌋ dxn−1 0 1 n−1 n−1 0 1 nf fdx dxa a| {z }
=0, d’après le lemme 3.
Et, une intégration par parties donne
Z b−h d
V (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dxn−1 0 1 n−1 fdxa
Zh i b−hb−h d
= V (x)⌈x,x ,x ,...,x ⌋ − V (x) ⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx.n−1 0 1 n−1 n−1 0 1 n−1f f
a dxa| {z }
=0, d’après le lemme 3.
Puis, d’après le théorème de la moyenne,
Z Zb−h b−h(n+1)d f (ζ )2
V (x) ⌈x,x ,x ,...,x ⌋ dx = V (x)dx,n−1 0 1 n−1 n−1fdx (n+1)!a a
avec ζ ∈ [a,b−h].2
Par conséquent, on a
 
 Z Zb b−h 1 (n+1) (n+1) R (f) = f (ζ ) v (x)dx−f (ζ ) V (x)dx .n 1 n 2 n−1 (n+1)! b−h a | {z } | {z }
≤0 >0, d’après le lemme 3.
n+1 (n+1) 0 (n+1)Mais, puisque f ∈C ([a,b]), f ∈C ([a,b]), et lorsque μ et ν sont des réels positifs, μf (ζ )+1
(n+1) (n+1)νf (ζ ) = (μ+ν)f (ζ) où ζ ∈ [ζ ,ζ ]⊂ [a,b].2 1 2
R Rb b−h
Or, avec μ =− v (x)dx et ν = V (x)dx. Et, par intégration par parties, on an n−1b−h a
Z Zb−h b−h
b−hv (x)dx = [(x−b)V (x)] − V (x)dx.n n−1 n−1a| {z }a a
=0, d’après le lemme 3.
–7/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
Rb
Puis, μ+ν =− v (x)dx.na
Enfin, en utilisant le changement de variable x =a+th,
Zn+2 nh (n+1)R (f) = f (ζ) t(t−1)(t−2)...(t−n)dt,n
(n+1)! 0
où ζ ∈ [a,b].

Etude de la stabilité et de la convergence de quadrature de Newton-Côtes.
P (n)nLaméthodedequadraturedeNewton-Côtesn’estnistable,niconvergente.Enfait,laquantité |A |i=0 i
n’est pas bornée supérieurement pour tout n. [Ce résultat n’est pas démontré ici].
Les méthodes composites
Dans ces mèthodes, l’idée est d’écrire
Z Z Z Zb α α α =b1 2 N
I = f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx+...+ f(x)dx,
a a=α α α0 1 N−1
puis utiliser une méthode de Newton-Côtes sur chaque subdivision [α ,α ], avec i∈{0,1,...,N −1}.i i+1
La méthode des trapèzes.
b−ah = .
N
On a Z Zα 3 1i+1 h h ′′f(x)dx = (f(α )+f(α ))+ f (ζ ) t(t−1)dt,i i+1 i
2 2α 0i | {z }
−1
=
6| {z }
3h ′′=− f (ζ )i12
où ζ ∈ [α ,α ].i i i+1
On obtient donc
Z ZN−1 N−1 N−1b α 3X i+1 X Xh h ′′f(x)dx = f(x)dx = (f(α )+f(α ))− f (ζ ),i i+1 i
2 12a αii=0 i=0 i=0| {z }
′′=Nf (ζ)
| {z }
3(b−a) ′′f (ζ)
212N
où ζ ∈ [a,b].
P (N)NLa méthode des trapèzes est stable et car A =b−a.i=0 i
2Si f ∈C ([a,b]), la méthode des trapèzes est convergente.
La méthode de Simpson.
b−ah = .
2N
On a
Z Zα 2i+1 5b−a α +α hi i+1 ′′′′ 2f(x)dx = f(α )+4f( )+f(α ) + f (ζ ) t (t−1)(t−2)dt,i i+1 i6N 2 24α 0i | {z }
−4=
15
| {z }
5h ′′′′=− f (ζ )i90
–8/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
où ζ ∈ [α ,α ].i i i+1
On obtient donc
Z Z N−1 N−1 N−1b α 5X i+1 X Xb−a α +α hi i+1 ′′′′f(x)dx = f(x)dx = f(α )+4f( )+f(α ) − f (ζ ),i i+1 i
6N 2 90a αii=0 i=0 i=0
| {z }
′′′′=Nf (ζ)
| {z }
5(b−a) ′′′′f (ζ)
42880N
où ζ ∈ [a,b].
P (N)NLa méthode de Simpson est stable et car A =b−a.i=0 i
4Si f ∈C ([a,b]), la méthode de Simpson est convergente.
Les méthodes de Gauss.
La méthode de quadrature de Newton-Côtes est exacte sur P mais n’est ni stable ni convergente.n
On se propose maintenant de choisir les abscisses d’interpolation de façon optimale, c’est-à-dire de telle
sorte que la méthode de quadrature soit exacte sur P .2n+1
On a f =P +E .n n
D’où Z Z Zb b b
I = f(x)ω(x)dx = P (x)ω(x)dx+ E (x)ω(x)dx.n n
a a a
En utilisant la formule d’interpolation de Lagrange, il vient
nX
(n)
I = A f(x )+R (f).i ni
i=0
Théorème 6
Une condition nécessaire et suffisante pour que la formule de quadrature de Gauss soit exacte sur P est2n+1
que
Z b
px v (x)ω(x)dx = 0, ∀p∈{0,1,...,n}.n
a
Démonstration
La condition est nécessaire ...
Si la formule de quadrature de Gauss est exacte sur P , alors2n+1
Z nb X
(n) ppx v (x)ω(x)dx = A x v (x ), ∀p∈{0,1,...,n}.n n ii i
a i=0
Et, v (x ) = 0, par définition de v .n i n
La condition est suffisante ...
Si Z b
px v (x)ω(x)dx = 0, ∀p∈{0,1,...,n},n
a
alors, par combinaison linéaire, on obtient
Z b
Q(x)v (x)ω(x)dx = 0,n
a
–9/12– MathématiquesPLC1 Quadrature 2008
pour tout Q∈P .n
Soit P ∈P , la division euclidienne de P par v donne P =v Q+R où R∈P .2n+1 n n n
Ainsi,
Z Z Z
b b b
P(x)ω(x)dx = Q(x)v (x)ω(x)dx+ R(x)ω(x)dx .n
a a a| {z } | {z }
P=0 n (n)
= A R(x ) car la formule de quadrature est exacte sur Pni=0 ii |{z}
=P(x )i

Théorème 7
La formule de quadrature de Gauss ne peut être exacte sur P .2n+2
Démonstration
Soit à calculer Z b
2I = (v (x)) ω(x)dx.n
a
2Puisque v > 0 et ω > 0, on a I > 0.n
Cependant,
nX
(n) 2A (v (x )) = 0,n ii
i=0
par définition de v .n
Et, la formule ne peut être exacte sur P .2n+2

La question qui se pose maintenant est de savoir s’il existe un polynôme v satisfaisant aux conditionsn
du théorème 6 ...
Théorème 8
Pour les méthodes de Gauss, les abscisses x sont réelles, distinctes, situées dans [a,b] et uniques.i
Démonstration
On rappelle que
Z b
Q(x)v (x)ω(x)dx = 0,n
a
pour tout Q∈P .n
Les racines de v sont dans [a,b] ...n
Supposons que v ne possède que k + 1 racines réelles, distinctes ou non, situées dans [a,b]. Soient x ,n 0
x , ..., x ces racines et supposons que −1≤k≤n.1 k
On peut alors écrire v (x) = (x−x )(x−x )...(x−x )u(x) avec u∈P .n 0 1 k n+1−k
Pour Q(x) = (x−x )(x−x )...(x−x ), Qv ne change pas de signe sur [a,b] et ceci contredit le fait0 1 k n
R
bque Q(x)v (x)ω(x)dx = 0.na
Les racines de v sont simples ...n
–10/12– Mathématiques