CALCUL DE LA VITESSE EN SCIENCES PHYSIQUES ET DERIVATION.
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CALCUL DE LA VITESSE EN SCIENCES PHYSIQUES ET DERIVATION.

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  • cours - matière potentielle : du temps
  • cours - matière potentielle : précisant les notions de trajectoire , de vitesse et d' accélération
Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 1 CALCUL DE LA VITESSE EN SCIENCES PHYSIQUES ET DERIVATION. Groupe IREM Math-Physique au Lycée Monique Mandleur, Monique Sosset Michèle Fauré, Pierre Lopez Introduction. Le groupe IREM « mathématiques et sciences physiques au lycée » est constitué depuis le début du mois de janvier 1998. Il s'est d'abord attaché à inventorier les notions mathématiques utilisées dans l'enseignement actuel des sciences physiques. En particulier, nous avons été conduits à nous intéresser aux problèmes du vecteur vitesse et du calcul de sa valeur en sciences physiques.
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Langue Français
Poids de l'ouvrage 4 Mo

Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 1
CALCUL DE LA VITESSE
EN SCIENCES PHYSIQUES ET
DERIVATION.


Groupe IREM Math-Physique au Lycée
Monique Mandleur, Monique Sosset
Michèle Fauré, Pierre Lopez




Introduction.


Le groupe IREM « mathématiques et sciences physiques au lycée » est constitué depuis le
début du mois de janvier 1998. Il s’est d’abord attaché à inventorier les notions
mathématiques utilisées dans l’enseignement actuel des sciences physiques.
En particulier, nous avons été conduits à nous intéresser aux problèmes du vecteur vitesse et
du calcul de sa valeur en sciences physiques. Le sujet peut paraître à la fois banal et rebattu,
comme en témoigne l’article paru dans le B.U.P. n° 807 d'octobre 1998 sur un exercice de
sciences physiques du baccalauréat de juin 1996 (métropole, groupement II et III) (celui-ci
porte sur l'étude du mouvement d'une voiture au banc d'essai).
Malgré toutes les études existantes, nous sommes obligés de constater que l’enseignement de
ces notions présente encore de nombreuses difficultés. Par exemple, les multiples façons de
calculer la vitesse suivant le problème posé, depuis l'exercice simple mettant en jeu un
mouvement rectiligne uniforme jusqu'à l'exercice plus complexe où il faudra éventuellement
choisir entre une détermination de la vitesse instantanée à l'aide de la dérivation, et une
détermination approchée à l'aide de relevés expérimentaux, constitue souvent pour l'élève
moyen un labyrinthe d'où il ne sort pas toujours facilement.
On peut considérer que ceci est “naturel” ; on est en face d’un “obstacle”, et il est inutile,
voire dangereux, de vouloir le supprimer. Cependant, notre réflexion nous a amené à penser
que certaines questions liées à l’enseignement de ces notions n’avaient pas été assez
approfondies. Les connaissances que nous avons actuellement sur les obstacles attachés aux
notions de limite, dérivée et tangente, ne nous paraissent pas assez exploitées. Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 2
1. Hypothèses de départ sur l’enseignement des notions de
vitesse instantanée, de tangente et de dérivée.



Première hypothèse : un enseignement sur la notion de limite finie en un point fini n’est pas
un préalable indispensable à l’introduction de la notion de dérivée.

Tout d’abord on remarque que dans certaines classes de première les programmes demandent
d’introduire la notion de dérivée sans la notion de limite. Un travail graphique mettant en
scène la notion de tangente permet cette approche. D’autre part en invoquant l’histoire des
mathématiques, on note que la notion de limite est apparue après celle de dérivée, elle-même
motivée par des préoccupations de tangente à une courbe et de vitesse instantanée d’un
mobile. Enfin, dans le contexte des classes de première, en dehors précisément de la dérivée,
il n’y a pas de véritable problématique liée à la notion de limite finie en un point fini. En fait,
la notion de dérivée peut être une motivation à l’étude des limites.


Deuxième hypothèse : la notion de tangente peut être un cadre problématique permettant
l’introduction de la notion de dérivée.

En effet, par son aspect géométrique, une problématique portant sur la question de la tangente
à une courbe en un point est compréhensible a priori par les élèves. L’utilisation de graphiques
et la manipulation d’instruments de dessin viennent prolonger les activités faites par les élèves
dans les classes antérieures. Il faut souligner ici les nécessaires compétences liées aux
graphiques : lecture graphique, unité graphique, choix d’un repère, interprétation graphique du
coefficient directeur d’une droite.


Troisième hypothèse : la notion de vitesse instantanée ne peut prendre tout son sens que dans
un contexte physique.

La présence de la notion de vitesse instantanée dans les programmes de mathématiques, en
l’absence d’enseignement de la cinématique, ne peut se comprendre que par la volonté du
législateur de vouloir créer des liens entre plusieurs disciplines, en l’occurrence les sciences
physiques et les mathématiques (à ce propos, nous ne nous occuperons pas des applications
aux sciences économiques et autres). Aussi au delà d’un vernis d’interdisciplinarité qui
consisterait à utiliser un vocabulaire physique en classe de mathématiques, on veut construire
sur cette question des enseignements en physique et en mathématiques les plus cohérents
possible.

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Quatrième hypothèse : la notion de vitesse moyenne est une notion d’appui pour
l’introduction de la notion de vitesse instantanée.

Nous considérons que par leur pratique au collège, autant en classe de physique que dans celle
de mathématiques, les élèves maîtrisent suffisamment la notion de vitesse moyenne. Par
ailleurs, par son contexte de quotient de deux nombres non nuls, la vitesse moyenne ne
présente pas d’obstacle conceptuel dans une classe de première.


Cinquième hypothèse : les élèves ont des connaissances naïves sur la notion de tangente à une
courbe.

Nous supposons en particulier que les élèves sont capables :
- d’identifier, lorsqu’elle est donnée, une droite comme la tangente en un point à une
courbe,
- de tracer, lorsque seule la courbe est donnée, la tangente en un point, à l’exception
des situations de point d’inflexion.


Sixième hypothèse : la « position limite de la sécante » ne nous sert pas pour introduire la
tangente à une courbe.

Cette hypothèse est l’une des plus importantes. Dans son article publié dans la Revue de
Didactique des Mathématiques et intitulé “Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de
limite identifiés”, A. Sierpinska montre comment l’idée de la “limite de la sécante” n’est pas
chez les élèves porteuse de sens par rapport à la notion de tangente (à la limite, les deux points
définissant la sécante sont confondus et donc ne permettent pas de définir une droite). La
tangente sera définie par un point et une direction. Par ailleurs, si d’un point de vue théorique
il n’y a bien sûr aucun inconvénient à définir la tangente comme la “limite de la sécante”, cela
ne dédouane pas de la nécessité de faire coller cette définition avec le sens présent a priori
dans la tête des élèves.


Septième hypothèse : quelle que soit la démarche utilisée, il faut in fine satisfaire aux objectifs
et à la lettre du programme, donc en particulier identifier le coefficient directeur de la tangente
à une courbe (dans le cas où elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées) comme la limite du
coefficient directeur de la sécante.

Ceci est un point élémentaire de déontologie, qui, s’il n’était pas satisfait, invaliderait toutes
nos propositions. Par ailleurs, nous sommes conscients que chez les élèves le contexte et le
point de vue présidant à l’introduction d’une notion est très prégnant, aussi nous devrons Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 4
assurer avec soin le transfert aux différents contextes, et l’assimilation des différentes
formulations.


Huitième hypothèse : la notion de tangente est liée à l’idée d’"indiscernabilité".

Afin de coller au sens naïf de la notion de tangente découlant de la pratique des tangentes aux
cercles, on met en place une notion d’indiscernabilité. Celle-ci peut tout d’abord être vue dans
son aspect graphique. Cependant elle peut déboucher sur la formulation qui consiste à affirmer
qu’une droite est tangente en un point à une courbe si quelle que soit l’épaisseur avec laquelle
est faite le tracé, et quelle que soit la place que l’on se réserve pour le graphique, il existe une
unité graphique telle que l’écart entre les tracés de la droite et de la courbe est inférieur à
l’épaisseur du trait. Avec cette démarche, le cas des points d’inflexion ne devrait plus être
conflictuel ; en effet l’indiscernabilité élimine la perception d’un quelconque “dessous-
dessus”. On peut penser que la tangente perd ainsi le sens de “droite qui frôle sans couper”. Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 5
2. Présentation générale.

Aussi nous avons décidé de travailler à la construction d'une séquence composée de séances
de mathématiques et de séances de sciences physiques permettant de donner aux notions de
vitesse instantanée et de dérivée un nouveau cadre. Nous partons de l’idée que :
en mathématiques, on peut introduire la notion de dérivée sans
utiliser la notion de limite,
et en physique, la notion de vitesse instantanée sans passer par la
limite de vitesses moyennes.


Nous proposons ci-après la base de séances d'enseignement en sciences physiques. Le
document donne le travail demandé à des élèves de terminale S lors des deux premières
séances de travaux pratiques de physique. Il s'agit de deux TP-cours réalisés en classe, l'un
concernant le mouvement rectiligne uniforme, l'autre le mouvement rectiligne uniformément
varié. Les réponses que devaient apporter les élèves figurent dans le texte, le plus souvent en
italique et en gras.

En classe de 1° S, un élève a déjà rencontré :
1 - en début d’année en physique, la notion de vitesse instantanée ;
- plus tard en mathématiques, la dérivation, pour laquelle le programme indique :
« Aspect mécanique : vitesse ».

Le travail présenté ici n’a donc pas pour objectif l’introduction des notions de vitesse
instantanée et de dérivation. On voulait seulement vérifier la faisabilité de nos idées devant
des élèves, à savoir répondre à la question :
est-il pédagogiquement possible de mettre en place une séquence sur
la vitesse instantanée sans parler de limite ?

Au-delà de notre recherche, ces séances trouvent leur justification en terminale S par
l’importance prise par la dérivation pour les problèmes de vitesse instantanée autant en
physique qu’en chimie (vitesse d’un mobile, accélération, oscillateur, vitesse d’évolution, ...).
Nous aurions préféré travailler d’abord en classe de 1° S, mais les services des collègues
physiciennes du groupe ne l’ont pas permis.

Cette séquence se déroule donc en classe de terminale S. Sont considérées comme acquises les
connaissances de première suivantes:
- les référentiels héliocentrique, géocentrique, terrestre,

1
Le programme stipule : « approche de la dérivation (sans le dire) » ; voir BOEN hors série du
24/09/1992, confirmé par le BOEN n°33 du 10/09/1998. fi
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S
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- la notion de référentiel galiléen,
- le principe de l’inertie (dans un référentiel galiléen, lorsqu’un solide est isolé ou
pseudo-isolé ( F = 0 ) son centre d’inertie G est soit au repos, si G est initialement
immobile V = 0 , soit en mouvement rectiligne uniforme si G a été initialement lancé G
( V 0 ). G
- la notion de vecteur vitesse et sa détermination dans le cas d’un mouvement
rectiligne uniforme et d’un mouvement quelconque. Dans ce dernier cas une valeur approchée
de la vitesse instantanée est obtenue par encadrement.

A la suite de ces deux séances de T.P. et d’une séance de cours précisant les notions de
trajectoire, de vitesse et d’accélération, nous avons proposé aux élèves un devoir en classe
comprenant entre autres quelques exercices d’application directe dont les énoncés figurent à la
fin du document en annexe 1. Nous les avons fait suivre d’un petit commentaire concernant
les taux de réussite des élèves aux différentes questions posées (annexe 2). En annexe 3, on
trouvera deux activités faites en classe de 1°S en mathématiques portant sur l’introduction de
la dérivation à l’aide de problématiques sur la notion de tangente.
t




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t
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3. Première séance : le mouvement rectiligne uniforme.

I . Expérience.
Matériel utilisé.


1 . Principe.

On lance un mobile auto-porteur S sur la table en position horizontale et on étudie le
mouvement de son centre d'inertie G.
La soufflerie fonctionne. On considère donc que le mobile S évolue sans frottement.
On enregistre les positions de G grâce à des impulsions électriques émises régulièrement
toutes les secondes. On choisit la valeur de = 40 ms.


R nReprésenter ci-contre les forces exercées sur
l'autoporteur. G


P fi
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Que peut-on dire de la somme vectorielle des forces agissant sur S ? F = 0 ∑

2 . Enregistrement.

Voir l'enregistrement 1 du document (1) donné en annexe.
Référentiel d'étude (O , i , j , k ). Le point O est l'origine des espaces.
La date t = 0 est l'origine des temps.
x représente l'abscisse de G dans le référentiel selon l'axe i .


3 . Etude de l'enregistrement.

• Trajectoire de G : L'ensemble des points d'enregistrement semblent appartenir à une droite.
• Que peut-on dire de la distance entre deux points consécutifs ? .Elle est sensiblement la
même.
2
Structuration : Le mouvement est rectiligne. La vitesse a la même valeur à tout instant.

II . Détermination de la coordonnée v . x

Le mouvement étant rectiligne et uniforme, proposer une méthode pour calculer vx.
Dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, la coordonnée vx est égale au quotient de la
distance parcourue x entre deux points quelconques de la trajectoire par la durée t mise
pour parcourir cette distance.

Application : Calculer vx entre les points 1 et 4
x x x 4,9 1,3 14 1 v = = = = 30cm.s x 3t t t 120.104 1

21 Cette structuration correspond à une modélisation de l'expérience, l'énoncé fait ne devant
pas être en contradiction avec les données de l'expérience. t
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t
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t
t
t

t
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III . Le vecteur-vitesse V .

• Direction : Celle de la droite trajectoire.
• Sens : Celui du mouvement.
• Coordonnées : ( v , v , v ) Donner les valeurs de v et de v x y z y z
v = … 0… v = … 0… y z
En est-il de même pour v ? v 0 (déterminé au § II) x x
2
• Norme ( valeur de la vitesse) : V = v = v x x

IV . Etude du graphe espace-temps représentatif de la fonction x = f (t).
1 . Mesures.

t (ms) 0 2 = 80 4 = 160 6 = 240 8 = 320 10 = 400
x (mm) 0 25 49 74 99 124,5

12 = 480 14 = 560 16 = 640 18 = 720
148,5 172 197,5 222,5


2 . Tracé du graphe représentatif de la fonction x = f(t) et
interprétation.

Faire le tracé sur papier millimétré. (voir courbe 1 du document 2 donné en annexe)
Exploitation du graphe.

Conclusions : On obtient une droite passant par l'origine des coordonnées.
x est proportionnel à t.
x(t) est une fonction linéaire de t.
Soit k le coefficient directeur de la droite. -
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Pour le calculer, si on considère les points A et B de la droite, on écrira la relation littérale
x xB Asuivante : k =
t tB A
20 2,5 1
Faire l'application numérique : k = = 29,2cm.s
0,6

Comparer cette valeur à celle de v calculée au § III : La valeur est sensiblement la même. x
Structuration : La valeur du coefficient directeur de la droite représentative de la fonction f
est égale à v . x

Ecrire la relation entre x , v et t. x = v . t. x x
Remarques :
1) v étant constante au cours du temps, sa valeur est toujours la valeur initiale. Donc : x
v = v x 0 x
La relation précédente devient donc : x = v . t 0x
2) Si l'origine des temps n'est pas confondue avec l'origine des abscisses, que peut-on dire de
x ? x 0 0 0

Exprimer le coefficient directeur v en considérant sur la droite un point quelconque M 0x
d'abscisse x à la date t et le point M0 d'abscisse x0 à la date t0 = 0 et généraliser la relation
établie précédemment entre x et t.
x x0 v = x = v .t + x 0 0 0x xt t0

V . Structuration finale.

Dans le référentiel choisi, lorsque la trajectoire du centre d'inertie G d'un mobile est une droite
et lorsque la valeur de la vitesse reste constante tout au long du trajet, le mouvement du point
G est rectiligne et uniforme.
Le vecteur-vitesse V gardant .même direction., ..même sens ..et ..même norme .. est un
vecteur ..constant. On pourra écrire : V = cste

Il existe entre x et t la relation : x = v .t + x0 0x