CALCUL DE LA VITESSE EN SCIENCES PHYSIQUES ET DERIVATION.

Pierre Lopez

Description

• cours - matière potentielle : du temps
• cours - matière potentielle : précisant les notions de trajectoire , de vitesse et d' accélération

Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 1 CALCUL DE LA VITESSE EN SCIENCES PHYSIQUES ET DERIVATION. Groupe IREM Math-Physique au Lycée Monique Mandleur, Monique Sosset Michèle Fauré, Pierre Lopez Introduction. Le groupe IREM « mathématiques et sciences physiques au lycée » est constitué depuis le début du mois de janvier 1998. Il s'est d'abord attaché à inventorier les notions mathématiques utilisées dans l'enseignement actuel des sciences physiques. En particulier, nous avons été conduits à nous intéresser aux problèmes du vecteur vitesse et du calcul de sa valeur en sciences physiques.

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Sujets

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• Physique

Informations

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Extrait

Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 1
CALCUL DE LA VITESSE
EN SCIENCES PHYSIQUES ET
DERIVATION.


Groupe IREM Math-Physique au Lycée
Monique Mandleur, Monique Sosset
Michèle Fauré, Pierre Lopez




Introduction.


Le groupe IREM « mathématiques et sciences physiques au lycée » est constitué depuis le
début du mois de janvier 1998. Il s’est d’abord attaché à inventorier les notions
mathématiques utilisées dans l’enseignement actuel des sciences physiques.
En particulier, nous avons été conduits à nous intéresser aux problèmes du vecteur vitesse et
du calcul de sa valeur en sciences physiques. Le sujet peut paraître à la fois banal et rebattu,
comme en témoigne l’article paru dans le B.U.P. n° 807 d'octobre 1998 sur un exercice de
sciences physiques du baccalauréat de juin 1996 (métropole, groupement II et III) (celui-ci
porte sur l'étude du mouvement d'une voiture au banc d'essai).
Malgré toutes les études existantes, nous sommes obligés de constater que l’enseignement de
ces notions présente encore de nombreuses difficultés. Par exemple, les multiples façons de
calculer la vitesse suivant le problème posé, depuis l'exercice simple mettant en jeu un
mouvement rectiligne uniforme jusqu'à l'exercice plus complexe où il faudra éventuellement
choisir entre une détermination de la vitesse instantanée à l'aide de la dérivation, et une
détermination approchée à l'aide de relevés expérimentaux, constitue souvent pour l'élève
moyen un labyrinthe d'où il ne sort pas toujours facilement.
On peut considérer que ceci est “naturel” ; on est en face d’un “obstacle”, et il est inutile,
voire dangereux, de vouloir le supprimer. Cependant, notre réflexion nous a amené à penser
que certaines questions liées à l’enseignement de ces notions n’avaient pas été assez
approfondies. Les connaissances que nous avons actuellement sur les obstacles attachés aux
notions de limite, dérivée et tangente, ne nous paraissent pas assez exploitées. Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 2
1. Hypothèses de départ sur l’enseignement des notions de
vitesse instantanée, de tangente et de dérivée.



Première hypothèse : un enseignement sur la notion de limite finie en un point fini n’est pas
un préalable indispensable à l’introduction de la notion de dérivée.

Tout d’abord on remarque que dans certaines classes de première les programmes demandent
d’introduire la notion de dérivée sans la notion de limite. Un travail graphique mettant en
scène la notion de tangente permet cette approche. D’autre part en invoquant l’histoire des
mathématiques, on note que la notion de limite est apparue après celle de dérivée, elle-même
motivée par des préoccupations de tangente à une courbe et de vitesse instantanée d’un
mobile. Enfin, dans le contexte des classes de première, en dehors précisément de la dérivée,
il n’y a pas de véritable problématique liée à la notion de limite finie en un point fini. En fait,
la notion de dérivée peut être une motivation à l’étude des limites.


Deuxième hypothèse : la notion de tangente peut être un cadre problématique permettant
l’introduction de la notion de dérivée.

En effet, par son aspect géométrique, une problématique portant sur la question de la tangente
à une courbe en un point est compréhensible a priori par les élèves. L’utilisation de graphiques
et la manipulation d’instruments de dessin viennent prolonger les activités faites par les élèves
dans les classes antérieures. Il faut souligner ici les nécessaires compétences liées aux
graphiques : lecture graphique, unité graphique, choix d’un repère, interprétation graphique du
coefficient directeur d’une droite.


Troisième hypothèse : la notion de vitesse instantanée ne peut prendre tout son sens que dans
un contexte physique.

La présence de la notion de vitesse instantanée dans les programmes de mathématiques, en
l’absence d’enseignement de la cinématique, ne peut se comprendre que par la volonté du
législateur de vouloir créer des liens entre plusieurs disciplines, en l’occurrence les sciences
physiques et les mathématiques (à ce propos, nous ne nous occuperons pas des applications
aux sciences économiques et autres). Aussi au delà d’un vernis d’interdisciplinarité qui
consisterait à utiliser un vocabulaire physique en classe de mathématiques, on veut construire
sur cette question des enseignements en physique et en mathématiques les plus cohérents
possible.

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Quatrième hypothèse : la notion de vitesse moyenne est une notion d’appui pour
l’introduction de la notion de vitesse instantanée.

Nous considérons que par leur pratique au collège, autant en classe de physique que dans celle
de mathématiques, les élèves maîtrisent suffisamment la notion de vitesse moyenne. Par
ailleurs, par son contexte de quotient de deux nombres non nuls, la vitesse moyenne ne
présente pas d’obstacle conceptuel dans une classe de première.


Cinquième hypothèse : les élèves ont des connaissances naïves sur la notion de tangente à une
courbe.

Nous supposons en particulier que les élèves sont capables :
- d’identifier, lorsqu’elle est donnée, une droite comme la tangente en un point à une
courbe,
- de tracer, lorsque seule la courbe est donnée, la tangente en un point, à l’exception
des situations de point d’inflexion.


Sixième hypothèse : la « position limite de la sécante » ne nous sert pas pour introduire la
tangente à une courbe.

Cette hypothèse est l’une des plus importantes. Dans son article publié dans la Revue de
Didactique des Mathématiques et intitulé “Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de
limite identifiés”, A. Sierpinska montre comment l’idée de la “limite de la sécante” n’est pas
chez les élèves porteuse de sens par rapport à la notion de tangente (à la limite, les deux points
définissant la sécante sont confondus et donc ne permettent pas de définir une droite). La
tangente sera définie par un point et une direction. Par ailleurs, si d’un point de vue théorique
il n’y a bien sûr aucun inconvénient à définir la tangente comme la “limite de la sécante”, cela
ne dédouane pas de la nécessité de faire coller cette définition avec le sens présent a priori
dans la tête des élèves.


Septième hypothèse : quelle que soit la démarche utilisée, il faut in fine satisfaire aux objectifs
et à la lettre du programme, donc en particulier identifier le coefficient directeur de la tangente
à une courbe (dans le cas où elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées) comme la limite du
coefficient directeur de la sécante.

Ceci est un point élémentaire de déontologie, qui, s’il n’était pas satisfait, invaliderait toutes
nos propositions. Par ailleurs, nous sommes conscients que chez les élèves le contexte et le
point de vue présidant à l’introduction d’une notion est très prégnant, aussi nous devrons Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 4
assurer avec soin le transfert aux différents contextes, et l’assimilation des différentes
formulations.


Huitième hypothèse : la notion de tangente est liée à l’idée d’"indiscernabilité".

Afin de coller au sens naïf de la notion de tangente découlant de la pratique des tangentes aux
cercles, on met en place une notion d’indiscernabilité. Celle-ci peut tout d’abord être vue dans
son aspect graphique. Cependant elle peut déboucher sur la formulation qui consiste à affirmer
qu’une droite est tangente en un point à une courbe si quelle que soit l’épaisseur avec laquelle
est faite le tracé, et quelle que soit la place que l’on se réserve pour le graphique, il existe une
unité graphique telle que l’écart entre les tracés de la droite et de la courbe est inférieur à
l’épaisseur du trait. Avec cette démarche, le cas des points d’inflexion ne devrait plus être
conflictuel ; en effet l’indiscernabilité élimine la perception d’un quelconque “dessous-
dessus”. On peut penser que la tangente perd ainsi le sens de “droite qui fr&