CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI

Georges Cailletaud

Description

1 CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE E H ? ?y a p(t) P a l'infini Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayon a (définie en coordonnées sphériques r,?,?, par r ? [a,+∞[) est creusée instantanément (p(t) = P pour t < 0 et p(t) = 0 pour t ≥ 0 où t est le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : ? ? (r, t = 0) =?PI ? où P est la pression à l'infini (Figure ci-dessus). Le matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : ? ? e = 1 E [(1+?)S ? ??trace(S ? )I ? ] avec S ? = ? ? ? (?PI ? ) ?˙ ? p = 3 2 s ? J < J??y > ? avec s ? = S ? ? 1 3trace(S?)I? et J = ((3/2)si j : si j) 1/2 E est le module d'Young, ? le coefficient de Poisson, ?y la limite d'élasticité et C = ?y/2 la cohésion ; ? désigne le module de viscosité.

• ?pr ? ?


• cavité sphérique


• rayon de la zone viscoplastique


• matériau


• analyse quantitative de la fermeture réelle de la cavité


• zone plastique


• ?r ?

Sujets

• Matériau

Informations

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Extrait

CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE

Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayona(définie en coordonnées sphériques r,q,j, parr∈[a,+¥[) est creusée instantanément (p(t) =Ppourt<0 etp(t) =0 pourt≥0 oùtest le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : s(r,t=0) =−PIoùPest la pression à l’infini (Figure cidessus). Le ∼ ∼ matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : 1 e e= [(1+n)S−ntrace(S)I]avecS=s−(−PI) ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ E 3 s <J−s y > p ∼ ˙ e= ∼ 2Jh 1 1/2 avecs=S−trace(S)IetJ= ((3/2)s i j :s i j ) ∼ ∼ ∼ ∼ 3 Eest le module d’Young,nle coefficient de Poisson,s y la limite d’élasticité etC=s y /2 la cohésion;hdésigne le module de viscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantité a=E/2(1−n)h. On suppose dans la suite que la pression géostatiquePest telle queP>2s y /3.

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1. Mise en équations 1.1.Inconnues principales: Compte tenu de la symétrie du problème on utilise les coordonnées sphériques (r,q,j). Par ailleurs, 3 le changement de variabler= (r/a)s’avère utile : 1/3 r=aravecr∈[1,+¥[(1) La paroi de la cavité correspond àr=1. L’unique composante non nulle du vecteur déplacement estu r =u(r,t)fonction de la variable d’espaceret du temps réelt. Les déformations totales non nulles sont la déformation circonférentiellee q =e j =u/ret la déformation radialee r =u ,r ; d’où : u=re q (2) ¶ ¶ et, commer=3r: ¶r¶r e r =3re q,r +e q (3) En ce qui concerne les contraintess r (radiale) ets q =s j (orthoradiales) l’état de référence (pourt<0) est caractérisé par : s r (r,t) =s q (r,t) =−P. Les variations des contraintes sont :S r =s r +PetS q =s q +P, d’où : s r =S r −P(4) s q =S q −P(5) s ss L’équation d’équilibre, r,r +2( r − q )/r=0 devient alors : S r,r +S r ou encore : s q = (1/2)r r S q = (3/2)S r,r +S r (6)