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Chapitre 1 : Fonctions – Généralités

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Chapitre 1 : Fonctions – Généralités

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Chapitre 3 : Les matrices
Sandrine CHARLES : scharles@biomserv.univ-lyon1.fr  
Introduction ............................................................................................................................2 1 Définitions ......................................................................................................................2 2 Opérations sur les matrices.............................................................................................3 2.1 Addition de deux matrices ......................................................................................3 2.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire ..........................................................4 2.3 Multiplication de matrices ......................................................................................5 2.4 Transposition de matrice ........................................................................................7 3 Matrices carrées, matrices élémentaires .........................................................................8 3.1 Matrices carrées ......................................................................................................8 3.2 Matrices diagonales ................................................................................................8 3.3 Matrice Identité.......................................................................................................9 3.4 Matrices Inversibles..............................................................................................10 3.5 Matrices symétriques ............................................................................................10 3.6 Matrices triangulaires ...........................................................................................11 3.7 Matrices orthogonales...........................................................................................11 3.8 Matrices normales.................................................................................................12 4 Déterminant d’une matrice carrée ................................................................................12 4.1 Formes multilinéaires alternées ............................................................................12 4.2 Déterminant d’un système de vecteurs .................................................................13 4.3 Déterminant d’une matrice carrée ........................................................................13 4.4 Déterminant et volume .........................................................................................18 5 Inversion de matrices....................................................................................................18 5.1 Matrice adjointe ....................................................................................................18 5.2 Théorèmes ............................................................................................................19 5.3 Cas d’une matrice d’ordre 2 .................................................................................19 5.4 Cas d’une matrice d’ordre 3 .................................................................................20 5.5 Cas particulier : inverse d’une matrice diagonale ................................................20 6 Exemples d’utilisation en Biologie...............................................................................20
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03) ...................................................................................................................................................................................................... Introduction Historiquement c’est Cayley , parallèlement aux travaux de Grassmann , qui dégage la notion d' espace vectoriel de dimension n , et introduit, avec Sylvester , la notion de matrice (le terme sera introduit par ce dernier en 1850) et en expose l'usage en faisant emploi des déterminants (dont l'initiateur fut Cauchy ) dans une théorie plus large dite  des invariants  (1858) : on entend là des propriétés matricielles invariantes par transformation linéaire comme, par exemple, le déterminant et la trace (somme des éléments diagonaux).
1 Définitions Définition 1 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice .  p colonnes aa 11 aa 12 " aa 1 p " A = 21 22 2 p # # % #  a a " a n 1 n 2 np  n lignes L’élément a ij \ de la matrice se trouve à l’intersection de la i ème ligne et de la j ème colonne. La matrice A s’écrit également sous la forme A = a ij  avec i = 1, n et = 1, p . Une matrice ayant n lignes et p colonnes est appelée matrice ( n , p ) ou n × p .  Définition 2 Le couple ( n , p ) est appelé dimension de la matrice.  Définitions 3 Une matrice de dimension ( n ,1 ) est une matrice colonne . Une matrice de dimension ( 1, p ) est une matrice ligne .  Notation : L’ensemble des matrices de dimension ( n , p ) est noté M n , p ( \ ) .  
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