Chapitre 10 : Suites et séries de fonctions

Description

• cours - matière potentielle : première année

MP 2011/2012 Chapitre 10 : Suites et séries de fonctions 1

• limite uniforme
• convergence au sens de la norme ‖
• appelée norme de la convergence uniforme
• convergence uniforme
• lien entre convergence normale
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Sujets

• Karl Weierstrass
• Convergence
• Partiel
• Límite

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Extrait

MP

Chapitre 10 :

Suites et séries de fonctions

1

2011/2012

Chapitre 10 – Suites et séries de fonctions

Dans tout le chapitre : •Kdésigne le corpsRouC. •Eest unKespace vectoriel de dimension finie. •Aest une partie deE. •(f n ) n∈N est une suite de fonctions définies surA, à valeurs dansK.

1

1.1

Convergence d’une suite de fonctions

Convergence simple

Définition 1.1 — La suite(f n )conver e simplement lorsque pour toutxfixé deA, la suite numérique(f n (x))converge (dansK). Si on posef(xlim) = f n (x), alors la fonctionf:A→Kest appelée limite simple de la suite(f n ). n→+∞ ∀x∈A,∀ε >0,∃n 0 ∈N,∀n≥n 0 ,|f n (x)−f(x)| ≤ε.

Exemple 1.1 – n Posonsf n (x) =xpourx∈[0,1]. La suite des fonctionsf n converge simplement vers la fonctionftelle que : f(x) = 0six∈[0,1[etf(1) = 1.

– Remarque – L’exemple précédent montre que la limite d’une suite de fonctions continues n’est pas nécessairement continue.

1.2

Convergence uniforme

Définition 1.2 — La convergence est dite uniforme surAlorsquen 0 ne dépend que deε, et non dex:

Ceci qui équivaut à :

∀ε >0,

∃n 0 ∈N,

∀ε >0,

∀n≥n 0 ,

∃n 0 ∈N,

∀x∈A,

∀n≥n 0 ,

|f n (x)−f(x)| ≤ε.

sup|f n (x)−f(x)| ≤ε. x∈A

– Remarque – Rappelons que dans l’ensemble des fonctions bornées deAdansK, l’applicationg7→sup|g(x)|est une norme x∈A notéek k ∞ . Ainsi la convergence uniforme surApeut s’écrire :

∀ε >0,

∃n 0 ∈N,

∀n≥n 0 ,

kf n −fk ∞ ≤ε.

Il s’agit donc de la convergence au sens de la normek k ∞ . Cette norme est appelée norme de la convergence uniforme.

Théorème 1.1 — La convergence uniforme implique la convergence simple.

Démonstration — Soit(f n )une suite de fonctions convergeant uniformément versf. Pour toutx∈Aon a|f n (x)−f(x)| ≤ kf n −fk ∞ , d’où le résultat.

– Remarque –

2

n 1. La réciproque du théorème est fausse : dans l’exemple du paragraphe précédent (f n (x) =xpourx∈[0,1]), on a :kf n −fk ∞ = sup|f n (x)−f(x)|= 1, qui ne tend pas vers0. x∈[0,1] 2. Pour démontrer qu’une suite de fonctions convergeant simplement versfne converge pas uniformément, il suffit de trouver une suite(x n )d’éléments deAtelle quef n (x n )−f(x n )ne tende pas vers0. En effet :kf n −fk ∞ ≥ |f n (x n )−f(x n )|.

– Remarque – Dans le cas d’une suite de fonctions deRdansR, la convergence uniforme d’une suitef n versfs’interprète graphiquement de la façon suivante : pour toutε >0e tubulaire compris entre les graphes des fonctions, le voisina f−εetf+εcontient tous les graphes des fonctionsf n à partir d’un certain rang.

Exemples 1.2 –

2−nx 1. Posonsf n (x) =x epourx∈R + . Pourx= 0on af n (x) = 0et pourx >0on alimf n (x) = 0. Donc la suite(f n )converge simplement vers la n→+∞ fonction nulle surR + . ′ −nx Pour toutn∈N, la fo able surR(x nctionf n est dériv + etf n ) =xe(2−nx).   2 2 4 −2 Sin≥1, alors la fonctionf n admet un maximum enx=. D’oùkf n −fk ∞ =f n =e. Donc 2 n n n kf n −fk ∞ tend vers0: la suitef n converge uniformément versf. 2. Soit la suite de fonctions(f n )définies surR + par :    1 nxsix∈0, n     1 2 f n (x) = 2−nxsix∈, n n   2   0six∈,+∞ n

∗ 1 La suite(f n )converge simplement vers0, mais pour toutn∈N,f n = 1( ) : ainsi la convergence n’est pas n uniforme. 3. Soit la suite de fonctions(f n )définies surR + par :  0six∈[0, n]   x−nsix∈[n, n+ 1] f n (x) = n+ 2−xsix∈[n+ 1, n+ 2]   0six∈[n+ 2,+∞[.

1.3

La suite(f n )converge simplement vers0, mais pour toutn∈N,f n (n+ 1) = 1: ainsi la convergence n’est pas uniforme.

Convergence uniforme sur tout compact

Dans le dernier exemple la convergence n’est pas uniforme surR + , mais cependant sur tout compact inclus dans R + .

Définition 1.3 — La suite de fonctions(f n )converge uniformément sur tout com act deAlorsque pour toute partie compacteKincluse dansAla suite(f n | K )converge uniformément.

– Remarque – La convergence uniforme surAimplique la convergence uniforme sur tout compact deA, mais la réciproque est fausse (cf. point n˚3 de l’exemple précédent).

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1.4

Limite uniforme d’une suite de fonctions bornées

Théorème 1.2 — Si(f n )est une suite de fonctions bornées convergeant uniformément versf, alorsfest bornée.

Démonstration — Prenonsε= 1. Il existe un entierntel que pour toutx∈A,|f n (x)−f(x)| ≤1, d’où|f(x)| ≤1 +|f n (x)|. La fonctionf n est bornée : il existe un réelMtel que pour toutx∈A,|f n (x)| ≤MFinalement|f(x)| ≤1 +M:fest bornée.

– Remarque – La convergence uniforme est la convergence de l’espace vectoriel normé(B(A,K),k ∙ k). On peut démontrer que ∞ c’est un espace de Banach (evn complet).

1.5

Limite uniforme d’une suite de fonctions continues

Théorème 1.3 — Si(f n )est une suite de fonctions continues convergeant uniformément versf, alorsfest continue.

Démonstration — Soitx 0 ∈A. Pour toutx∈Aet tout entiern, on peut écrire :

|f(x)−f(x 0 )| ≤ |f(x)−f n (x)|+|f n (x)−f n (x 0 )|+|f n (x 0 )−f(x 0 )|.

La suite(f n )convergeant uniformément versf, quel que soitε >0on peut choisir un entiernpour que|f(x)− ε ε f n (x)| ≤et|f n (x 0 )−f(x 0 )| ≤. La fonctionf n correspondante étant continue enx 0 , il existeα >0tel que : 3 3 ε |x−x 0 | ≤α⇒ |f n (x)−f n (x 0 )| ≤. En définitive :|x−x 0 | ≤α⇒ |f(x)−f(x 0 )| ≤ε. La fonctionfest bien 3 continue enx 0 .

– Remarque –

0 1. Le théorème s’interprète ainsi : siAest compact, alorsC(A,K)est une partie fermée de l’espace(B(A),k ∙ k). ∞ 2. Plus généralement, il suffit que la suite de fonctions continues(f n )converge uniformément sur tout compact pour que sa limite soit continue.

On peut étendre le théorème au cas des limites :

Corollaire 1.1 — Soit(f n )une suite de fonctions définies surAconvergeant uniformément vers une fonctionf, et soitaun point adhérent àA. Si pour toutn∈Nla fonctionf n admet une limiteb n ena, alors la suite(b n )converge versb∈Ketfadmetb pour limite ena:     lim limf n (xlim) = lim f n (x). x→a n→+∞n→+∞x→a

Démonstration — On montre que la suite(b n )est de Cauchy : elle converge versb. Il suffit ensuit de prolonger par continuité chaque fonctionf n parf n (a) =b n et la fonctionfparb.



– Remarque – SiAest une partie deRcontenant un intervalle de la forme[c,+∞[ou]− ∞, c], alors ce résultat s’étend au cas où chaque fonctionf n admet une limite en+∞ou−∞.

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2

2.1

Convergence d’une série de fonctions

Convergence uniforme

– Remarque – P Soit(u n )une suites de fonctions définies surA, à valeurs dansK. Dire que la série de fonctionsu n converge uniformément, c’est dire que la suite des sommes partielles(S n )converge uniformément, c’estàdire que la suite(R n ) des restes d’ordrenconverge uniformément vers0:

∀ε >0,

∃n 0 ∈N,

∀n∈N,

∀x∈A,

+∞ X n≥n 0 =⇒u k (x)≤ε.   k=n

On peut étendre aux séries de fonctions certaines propriétés des suites de fonctions :

Proposition 2.1 — P 1. La convergence uniforme implique la convergence simple : si la série de fonctionsu n converge uniformément P surA, alors la série numériqueu n (x)converge pour toutx∈A. 2. La somme d’une série de fonctions continues qui converge uniformément est continue. 3. La somme d’une série de fonctions continues qui converge uniformément sur tout compact est continue. P 4. Si la série de fonctionsu n converge uniformément et si chaque fonctionu n admet une limiteℓ n en un point P a∈A, alors la sérieℓ n converge et :

+∞+∞ X X limu n (x) = limu n (x). x→a x→a n=0n=0

– Remarque – P La convergence uniforme de la série de fonctionsu n équivaut à la convergence uniforme de la suite des sommes partielles(S n ). Elle implique donc la convergence uniforme vers0du terme généralu n . Il en résulte que pour montrer qu’une série de fonctions ne converge pas uniformément, il suffit de trouver une suite(x n )deAtelle queu n (x n )ne converge pas vers0.

2.2

Convergence normale

Définition 2.1 — P Une série de fonctionsu n définies surAet à valeurs dansKest dite normalement convergente lorsque la série P ku n k ∞ converge.

– Remarque – P La sérieku n k ∞ étant à termes positifs, il suffit pour qu’elle converge que ses sommes partielles soient majorées. P Il suffit donc qu’il existe une série majoranteα n , c’estàdire telle que pour toutn∈N:ku n k ∞ ≤α n qui converge.

Exemple 2.1 – −nx P x e La série de fonctions converge normalement surR + car pour toutx≥0: n −nx−nx x e n x e1 =≤ 2 2 n n n

P 1 et la série converge. 2 n

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2.3 Lien entre convergence normale et convergence uniforme P La convergence normale d’une série de fonctionsu n correspond à la convergence absolue dans l’espaceB(A,K). Comme cet espace est complet, elle implique la convergence de la série au sens de la norme de cet espace, autrement dit la convergence uniforme :

Théorème 2.1 — Toute série de fonctions qui converge normalement converge uniformément. De plus, la convergence est absolue en tout point.

Démonstration — n X P Soitu n une série de fonctions normalement convergente. Pour toutx∈A:|u k (x)| ≤ ku k k ∞ , d’où|u k (x)| ≤ k=0 n X P ku k k ∞ : les sommes partielles de la série|u n (x)|à termes positifs sont majorées : cette série converge. La série k=0 P u n (x)converge donc absolument. Majorons le reste d’ordren: +∞+∞ X X u k ≤ ku k k ∞ .   k=n k=n ∞ P La sérieku n k ∞ converge. Son reste d’ordrentend vers 0 : pour toutε >0, il existen 0 ∈Ntel que pour tout +∞ X P n≥n 0 :u k ≤ε. La sérieu n converge bien uniformément.   k=n ∞

– Remarque – La réciproque est fausse comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 2.2 – n P (−1) •Pour toutx∈Rest semiconvergente, d’après le critère spécial des séries alternées., la série 2 x+n n (−1) 1 1 P 1 •La convergence pourxfixé n’est pas absolue, car=∼et diverge. Ceci prouve que la  2  2 x+n x+nn n n (−1) 1 série de fonctions ne converge pas normalement ; d’ailleursx7→=.  2  x+n n ∞ •Cependant cette série converge uniformément surR, car le reste d’ordrend’une série vérifiant le critère spécial des séries alternées est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé, donc tend vers0uniformément.

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3.1

Extension aux fonctions vectorielles

Suites et séries de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie

SoitEetFdeux espaces vectoriels normés de dimension finie etAune partie deE. Pour toute applicationf bornée deAdansF, on définit : kfk= supkf(x)k. ∞ x∈A Les normes surFétant équivalentes, les normes ainsi définies dansB(A, F)sont équivalentes. De plus,Fétant complet, B(A, F)l’est aussi. On peut étendre aux suites et séries d’applications deAdansFles résultats suivants :

Proposition 3.1 — définition —

1. Une suite(f n )d’applications deAdansFlorsque pour toutsim lement conver e x∈Ala suite(f n (x))converge dansF. La suite(f n )ormément versconver e uni florsque la suite(kf n −fk ∞ )converge vers0.

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2. La convergence uniforme des suites de fonctions implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse. P P 3. Une sérieu n d’applications deAdansFconver e sim lement lorsque pour toutx∈Ala sérieu n (x) converge. P La sérieu n conver e uni ormément lorsque la suite des restes d’ordrenconverge uniformément vers0. P P La sérieu n conver e normalement lorsque la sérieku n k ∞ converge. 4. La convergence normale des séries de fonctions implique la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point deA, mais les réciproques sont fausses. 5. La limite uniforme d’une suite d’applications continues surAest continue surA. En particulier, la somme d’une série uniformément convergente d’applications continues est continue. 6. On peut échanger limite en un point et limite d’une suite uniformément convergente, ou limite en un point et somme d’une série uniformément convergente.

3.2

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Exemples

SiAest une algèbre normée unitaire de dimension finie alors : −1 1. L’applicationu7→(e−u), somme d’une série normalement convergente sur tout compact de la boule ouverte de centreOde rayon1de fonctions continues, est continue sur cette boule. 2. L’applicationu7→exp(u), somme d’une série normalement convergente sur tout compact deAde fonctions continues, est continue surA.

4.1

Approximation

des fonctions d’une variable réelle

Fonctions en escalier

Soitfune fonction définie sur le segment[a, b] finie.

(a < b), à valeurs dans un espace vectoriel norméFde dimension

Définition 4.1 — On dit quefest en escalier lorsqu’il existe une partition de[a, b]en unnombre finid’intervalles sur chacun desquels fest constante. Il existe alors une suite finie strictement croissanteσ= (x i ) i∈[0,n] :a=x 0 < x 1 <∙ ∙ ∙< x n =b, telle quefsoit constante sur chaque intervalle ouvert]x i , x i+1 [(les valeurs prises parfaux pointsx i n’ont pas d’importance). Une telle suite est appelée subdivision de[a, b]adaptée à la fonction en escalierf.

– Remarque –

•Cette subdivision n’est pas unique : certains points de subdivision peuvent être retirés sans nuire à la définition, et il est toujours possible d’ajouter arbitrairement des points de subdivision. •Toute subdivision contenant une subdivision adaptée àfest adaptée àf. •Cf. le cours de Première année pour plus de détails.

Proposition 4.1 — Étant donné deux fonctions en escalierfetgsur[a, b], il existe une subdivision adaptée simultanément aux deux fonctions.

Démonstration — Il suffit de réunir deux subdivisions adaptées respectivement à chacune d’entre elles.



– Remarque – On montre facilement à l’aide de cette proposition que l’ensemble des fonctions en escalier sur[a, b]est un sous espace vectoriel deB([a, b], F), notéE([a, b], F)(une fonction en escalier est bornée).

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Définition 4.2 — Plus généralement, on dit qu’une fonctionf:R→Fest en escalier surRlorsqu’il existe un segment sur lequel elle est en escalier et en dehors duquel elle est nulle. L’ensemble des fonctions en escalier surRest un sousespace vectoriel deB(R, F), notéE(R, F).

– Remarque – Il est clair également que sifest en escalier sur[a, b], alorsx7→ kf(x)kest aussi en escalier sur[a, b].

4.2

Fonctions continues par morceaux

Soitfune fonction définie sur[a, b]à valeurs dans un espace vectoriel norméFde dimension finie.

Définition 4.3 — On dit quefest continue ar morceaux lorsqu’elle n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité en chacun desquels elle présente une limite à droite et une limite à gauche finies. Autrement dit, il existe une subdivisionσ= (x i ) i∈[0,n] de[a, b]telle que la restriction defà chaque intervalle ouvert ]x i , x i+1 [soit continue sur cet intervalle et prolongeable par continuité à l’intervalle fermé[x i , x i+1 ]. Une telle subdivision est dite ada tée àf.

– Remarque – Comme pour les fonctions en escalier, on montre facilement que l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur[a, b]est un sousespace vectoriel deB([a, b], F), notéCM([a, b], F).

Définition 4.4 — Plus généralement, on dit qu’une fonctionfest continue par morceaux sur un intervalleIdeRlorsque sa restriction à tout segment deIest continue par morceaux. L’ensemble des fonctions continues par morceaux surIest un sousespace vectoriel deF(R, F), notéCM(I, F).

4.3

Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier

Théorème 4.1 —Toute fonction continue sur[a, b]est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur[a, b].

Démonstration — Le segment[a, b]étant compact,fest uniformément continue sur[a, b]: pour toutε >0, il existeα >0tel que 2 pour tout(x, y)∈[a, b], l’inégalité|x−y| ≤αimpliquekf(x)−f(y)k ≤ε. Prenons une subdivisionσ= (x i ) i∈[0,n] de[a, b]telle que pour touti∈[0, n−1],|x i+1 −x i | ≤αet définissons la fonction en escalierϕpar :   ∀i∈[0, n−1],∀x∈[x i , x i+1 [, ϕ(x) =f(x i ),  ϕ(b) =f(b).

Ainsi quel que soitx∈[a, b],kϕ(x)−f(x)k ≤ε, c’estàdire :kϕ−fk ∞ ≤ε. 1 ∗ En particulier, pour toutn∈N, il existe une fonction en escalierϕ n telle quekϕ n −fk ∞ ≤: la suite(ϕ n ) n converge uniformément versf.

Ce résultat peut être étendu aux fonctions continues par morceaux sur[a, b]:

Corollaire 4.1 — Toute fonction continue par morceaux sur[a, b]est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur[a, b].

Démonstration — Soitσ= (x i ) i∈[0,n] une subdivision de[a, b]adaptée à la fonctionf. Soitε >0. Pour touti∈[0, n−1], la restriction defà]x i , x i+1 [est prolongeable par continuité sur[x i , x i+1 ]: il existe donc une fonction en escalierϕ i

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