Chapitre Exercices lycee A Brizeux PC

Description

Chapitre 10 Exercices lycee A. Brizeux PC 2011-2012 Series entieres I. Applications directes du cours Exercice 1 Donner le rayon de convergence et la somme des series entieres : a) X n0 4 n z n ; b) X n1 nz n1 ; c) X n0 z n n ; Exercice 2 Donner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere X n0 (1) n n! z n ; II. A savoir rediger Exercice 3 Developper en serie entiere sur un voisinage de l'origine ?a; a[, la fonction g : x 7! 1 1 (x + x 2 ) . Exercice 4 A l'aide de la regle de d'Alembert, determiner le rayon de con- vergence de la serie entiere X n1 hn shn x 2n Exercice 5 Soit g : x 7! shx sinx 1. Justifier que la fonction g est DSE sur R, et donner l'ex- pression de son developpement en tout point x. 2. Montrer que x 6= 0 ) g(x) 6= 0. 3. Resoudre sur R l'equation sinx = shx. Exercice 6 Soit x 2? 1; 1[ 1.

• rayon de convergence de la serie entiere


• rayon de convergence r00 de la serie entiere


• serie reelle convergente


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• somme de la serie entiere


• rayon de convergence

Sujets

• Rayon de convergence
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Extrait

Chapitre10 Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
S´eries enti`eres
I. Applications directes du cours
Exercice 1 Exercice 2
Donnerlerayondeconvergenceetlasommedess´eriesenti`eres: Donner le rayon de convergence et la somme de la s´erie enti`ere
a) ; b) ; c) ; ;
II. A savoir r´ediger
Exercice 3 Exercice 6
D´evelopperen s´erieenti`eresur un voisinagede l’origine , Soit
la fonction .
1. Montrer que , puis calculer
Exercice 4
A l’aide de la r`egle de d’Alembert, d´eterminer le rayon de con-
;
vergence de la s´erie enti`ere
2. Montrer que , puis calculer ;Exercice 5
Soit
1. Justifier que la fonction est DSE sur , et donner l’ex-
3. Montrer que , puis cal-
pression de son d´eveloppement en tout point .
2. Montrer que .
culer ;
3. R´esoudre sur l’´equation .
III. Exercices
Exercice 7 3. End´erivant,justifierque estsolutionsur del’´equation
D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ere , diff´erentielle :
avec 4. On note les coefficients du DSE de sur .
(a) montrer que :
a) ; b) ; c) ; d) ;
.
i (b) Calculer , , et en d´eduire .
e) ; f) , pour fix´e;
(c) En d´eduire que :
Exercice 8
Montrer que les fonctions et sont d´eveloppables
5. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de sur .
en s´erie enti`ere sur , et donner leur expressions somma- V´erifier qu’il est constitu´e de puissances paires.
toires. Exercice 10
On rappelle qu’il s’agit de fonctions d´erivables et que : Montrer que pour tout , .
. Exercice 11
D´eterminer le rayon de convergence et la somme de la s´erie
Exercice 9
.
Soient et .
1. Rappeler le d´eveloppement en s´erie enti`ere de sur Exercice 12
, et justifier que y est d´eveloppable en s´erie enti`ere. Montrer que la fonction est DSE sur un inter-
2. Montrer que : , valle ouvert centr´e en , et donner son rayon de convergence.
S´eries enti`eres
2
a
n
n
8
=

0
0
0
n

n
n
n
X
x
n
+

sh
n
si
z
n
0
z

x
n
=
X
I
f
2
(0)
+
1

f
2
0
X
(0)
impair
n
<
f
n
00
(1
(0)
2
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j
1
z

1
n
x
X
(
n
2
z
x
n
;
4
=
0
n

z
n
)
a
1
0
℄
;
n
a
sh
1
+
;
(
a
2
2
E
X
=
n
x
+2
n
n
x
a
2
2)
X
+
nx
n
C
1)(
z
+
h
n
x
(
2
;
n
N
n
2
f
n
)
8
f
(
(1
8
8
n
2
2
!
N
f
;
=]
a
1
2
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n
et
+1
0
=
n
0
2
;
1
a
(
2
1[
n
2
=
;
2

2
+
n
x
2
x
((
1
n
=1
1)!)
1)(2
2
n
n
2
(2
si
n
pair
1)!
n=
1)
(
n
n
n
1
!
n
z
(1
n
e
℄
)
a;
1
a
n
[
)
g
n
:
X
x
=1
7!
n
I
n
1
2
1
=
(

f
j
x

+
j
x
j
2
(1
)
)
X
+
n
X

=1
1
2

)
h
(
n
4
sh
2
n
x
x
0
2
)
n
x
g
I
:
x
x
f
N

2
)
n
(Arcsin
)
7
n
:
a
1[
(
1
f
I
7!
x
sh
1
x
)
I
(
sin
Argth
x
X
g

R
n
x
1
2
!
=
n
0
x
xy
1
00
=
y
x
)
0
2
;
x
;
(1
℄
)
x
E
1[
(
1
x
Argth
6
R
=

1/3
n
2
f
:
g
7!
(
(3
x
)
)
x
6
e
=
n
0
3)
R
n
sin
+
x
(2
=
1)
sh
n
x
x
x
n
2
n
℄
1
1
n
;
2]
1[
[
+
1)
1
:
X
8
n
0
I
2
=1
+
x
ln
n
ln
n
2
=
!
ln
n
(1
n
x
x
)
3
+
p
1
+
X
=
n
a
=1
x
f
Ch.10
1
+
n
z
2
a
n
1
+
n
1
n
X
2
n
=1
)
0M. Roger Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
Exercice 13 Se´rie de Hadamard v´erifie l’in´egalit´e :
Soient et deux s´eries enti`eres de rayons de
convergence respectifs et . 2. A l’aide des s´eries enti`eres et , justifiez
1. Justifierquelerayondeconvergence delas´erieenti`ere que l’in´egalit´e peut ˆetre stricte.
IV. Pour aller plus loin
Exercice 14 1) s’il existe tel que : , alors
.Soient et .On d´efinit deux suites et en
2) a) comparer et lorsque ;posant :
pour tout , et .
b) montrer que a un rayon de convergence tel
D´eterminer les rayons de convergences et sommes des s´eries
que ;et .
c) montrer que le rayon de convergence de est ;
Exercice 15
d) montrer que le rayon de convergence de est ;
Trouver le rayon de convergence de la s´erie enti`ere r´eelle
et sa somme en cherchant une ´equation diff´erentielle
Exercice 19
du 3e ordre qu’elle v´erifie. Soit , et une s´erie enti`ere de rayon de conver-
Exercice 16
gence . On suppose que converge. Montrer queNotons , et pour tout ,
.
est d´efinie et continue sur le disque ferm´e1) Pour entier fix´e, terminer le rayon de convergence
de la s´erie enti`ere , et calculer la somme de cette .
s´erie enti`ere en tout point du disque ouvert de convergence.
Exercice 20 de´nombrement
2) Soit . Justifier (en une ligne) que est Soit un entier naturel fix´e. On souhaited´eterminer le nombre
une base de . de triplets tels que :
3) En d´eduire le rayon de convergence et la somme de la s´erie
.
.
1) D´evelopper en s´erie enti`eres sur les expressions :
, , .
Exercice 17
D´eterminer le rayon de convergence et la somme de la s´erie
2) Justifier que
enti`ere , o`u pour tout on pose
.
3) Exprimer le nombre de fa¸cons d’avoir euros `a l’aide
Exercice 18 de pi`eces de 1 E ou 2 E ou 5 E, `a l’aide des coefficients
Soient et deux s´eries enti`eres de rayons de du DSE
de
convergence respectifs et , justifier que :
S´eries enti`eres
X
R
n
j
t
n
t
a
+
j
z
0
b;

(1
n
1
X

R
z
X
a
n
n

g
0

u
3
n
0
z
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S
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:

z
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z
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n
X
=
n
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a
a
b
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n
n
Z
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n
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z
N
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n

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n
n
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X
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N
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n
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0
0
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H
R
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b
(0
b
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X
R
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N
n
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N
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t
n
:
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t
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p
H
n
0
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n
n
X
n
0
X

b
k
R
℄
n
X

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R
R
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2
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x
H
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)
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1
3
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x
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X
X
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n
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N
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