Chapitre Lois continues

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Chapitre 5 Lois continues Û ? Ø 1. Rappel Voir page 11 pour les rappels sur les variables à densité. RAPPEL Une variable X est absolument continue s'il existe une fonction f définie sur telle que : ? f est positive sur , ? f est continue sur sauf peut-être en un nombre fini de points où elle admet une limite à droite et une limite à gauche, ? , ( ) d 1f t t +∞ ?∞ =??? ? La fonction de répartition F de X est liée à f par : . ( ) ( ) d x F x f t t ?∞ = ??? On dit que f est une densité de X. Abusivement, f est appelée loi de X. 2P([ ; ] ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d b a a b f t t E X t f t t V X t f t t +∞+∞ ?∞ ?∞ = = µ = = ?µ?? ?? ? ?? ? ? 2. Loi uniforme Une v. a. X suit la loi continue uniforme sur [ a ; b ] (a ≠ b) si, et seulement si, X a pour densité de probabilité la fonction f définie par 1 [ ; ], ( ) [ ; ], ( ) 0 x a b f x b a x a b f x ?? ? =? ???? ? ? =? .

• lois continues


• respectifs ?x


• loi normale


• axe des abscisses


• loi uniforme


• variable aléatoire


• ?2 ≤

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• exercice
• mathématiques
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• mathématique
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Extrait

1. Rappel

Chapitre 5 Lois continues

Û×Ø

Voir page 11 pour les rappels sur les variables à densité. R APPEL Une variableXest absolument continue s’il existe une fonctionfdéfinie surtelle que : ●fest positive sur, ●fest continue sursauf peutêtre en un nombre fini de points où elle admet une limite à droite et une limite à gauche, +∞ ⌠ ● f(t) dt = 1 , ⎮ ⌡ −∞ x ⌠ ●fonction de répartition LaFdeXest liée à f par : F(x) = f(t) dt . ⎮ ⌡ −∞ On dit que f estunedensitédeX. Abusivement,fest appeléeloi deX. +∞ b+∞ ⌠ ⌠ ⌠ 2 P([a;b]=f(t) dt E(X)= µ =t f(t) dt V(X)=(t− µ)f(t) dt ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡ a ⌡ −∞ −∞ 2. Loi uniforme

Une v. a. X suit la loi continue uniforme sur [ a ; b ] ( a ≠ b ) si, et seulement si, X a ⎧ 1 ⎪∀x∈[a;b],f(x)= pour densité de probabilité la fonction f définie par ⎨ b−a . ⎪ ∀x∈−[a;b],f(x)=0 ⎩ Cette loi est notée U ([ a ; b ]. y y 1

1 b−a  a O b Densité de probabilité

a O b Fonction de répartition

2 a+b(b−a) E(X)=V(X)= 2 12 Soit X et Y deux v.a. telles que Y = ( b − a ) X + a X suit la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] si et seulement si Y suit la loi uniforme sur [ a ; b ].

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