Chapitre sur les ensembles de nombres Cours.

Parthe

Description

Etudiez les annales et les cours 2006/2007 pour la classe de seconde.

Sujets

• Arithmétique
• Soustraction
• Multiplication
• Opération
• Formules mathématiques simples
• Géométrie
• Algèbre
• Nombres

Informations

• Publié par: classe-de-seconde
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

ndeCours 2 Ensembles de nombres 2 F
Ensembles de nombres
Au cours de l’histoire les hommes ont d’abord eu besoin de compter des entités indivisibles
(bétail, personnes, maison, etc…) ; les premiers nombres utilisés sont donc les nombres
entiers, à l’exception du zéro qui est une notion fort complexe et qui arrivera que très
tardivement (les romains ne le connaissaient pas, et à cause de ce retard l’année 0 n’a jamais
existé… on passe de l’an –1 à l’an 1).
Les nombres négatifs apparaissent ensuite à partir du moment où l’on prend une référence :
une référence temporelle par exemple (comme la naissance du Christ en occident ou l’année
de l’Hégire pour les musulmans), et que l’on date ensuite des événements antérieurs.
Les nombres entiers ne sont pas suffisants pour décrire certaines situations concrètes :
comment partager certaines quantités entre plusieurs personnes. L’opération de division
apparaît donc, et à la suite d’elle la notion de fraction.
Pour terminer les mathématiciens se sont rendus compte que certains nombres ne pouvaient
pas s'écrire à l'aide de fractions (comme nous l’avons fait avec 2). On a donc du considérer
les nombres irrationnels. Avec leur adjonction on obtient alors un ensemble de nombres
complet que l’on nomme les nombres réels.
I- Les divers ensembles de nombres.
1- Les entiers naturels.
Nous appelons entiers naturels les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
On note N cet ensemble.
2- Les entiers relatifs.
Nous appelons entiers relatifs les entiers naturels à qui nous ajoutons les nombres : -1, -2, -3,
-4, -5, …
On note Z cet ensemble.
3- Les rationnels.
Nous appelons nombre rationnel tout nombre s’écrivant sous forme d’une fraction d’entiers
relatifs. L’ensemble des nombres rationnels se note Q.
2 1 -456
Exemples. : , ,
3 -5 223
-7
Remarque. Les entiers relatifs sont des nombres rationnels car par exemple = -7.
1
14- Les nombres réels.
Les nombres réels sont composés de tous les nombres rationnels et de tous les nombres
irrationnels. On les note R.
Exemples de nombres irrationnels : 2, 3 - 7, .
On peut représenter les nombres réels à l’aide d’une droite graduée. Chaque point de cette
droite représente un nombre réel, et tout nombre réel se trouve en un point précis de cette
droite.
-4 0 1
11
2 3
5- Représentations ensemblistes.
Nous avons qu’un entier naturel est aussi un entier relatif, mais également un entier relatif est
un nombre rationnel, et un nombre rationnel est un nombre réel. On peut écrire cela sous
forme d’inclusion comme suit :
IN ?? ZZ ?? QI ?? IR?? ?? ??
On encore nous pouvons voir cela dans le diagramme suivant :
2
pII- Opérations sur les nombres réels.
Toutes les opérations possibles ont été vu au collège et sont à maîtriser dans leur ensemble ;
rappelons ici celles qui sont les plus importantes :
• Multiplication de deux nombres rationnels.
• Addition de deux nombres rationnels.
• Elever à une puissance entière (positive ou négative) un produit, ou un quotient de
nombres rationnels.
• Simplifier les racines carrées de nombres rationnels.
• Développer des calculs contenant des nombres réels.
• Règle des signes.
• Priorités dans les opérations.
Toutes ces opérations sont étudiées dans l’activité 4.
III- Le calcul littéral.
Dans de nombreuses situations on travaille avec des nombres réels inconnus, ou encore on
établit des formules valables pour tous les nombres réels. Pour cela on utilise des lettres
représentant soit le nombre inconnu, soit un nombre quelconque parmi tous les nombres
existants. (comme dans les formules où une lettre peut être remplacée par n’importe quel
nombre)
Pour pouvoir manipuler de telles expressions (expressions contenant des lettres) on utilise des
formules, celles, essentielles, qui sont à connaître sont les suivantes :
• Règle de développement.
• Identités remarquables.
• Formules sur les puissances.
• Formules sur les racines carrées.
IV – Valeur approchée d’un nombre réel.
On peut connaître facilement la valeur approchée d’un nombre rationnel. Il suffit de poser la
division décimale de son numérateur par son dénominateur. Ou de taper la division à la
calculatrice. Mais n’oublions jamais que dans la plupart des cas nous n’obtenons qu’une
valeur approchée et non pas la valeur exacte du nombre rationnel.
1
Par exemple 0,3333333333333333 est une valeur approchée de . Si on devait écrire la valeur
3
1
exacte de en écriture décimale alors il nous faudrait écrire une infinité de 3 après la
3
virgule…
Il est par contre très difficile d’obtenir la valeur approchée d’un nombre irrationnel. Les
mathématiciens ont mis de nombreux siècles à découvrir les premières décimales de , et
c’est aujourd’hui un record que d’en trouver une de plus que celles que l’on connaît déjà.
N’oubliez jamais que votre calculatrice fait de nombreux calculs pour pouvoir écrire que :
8.77496438777 =
3
p