Chapitre sur les nombres premiers Cours.
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Visionnez les activités et les travaux pratiques 2006/2007 pour la classe de seconde.

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Publié le 01 janvier 2006
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Langue Français

Exrait

ndeCours 1 Nombres premiers 2 E
Nombres premiers
Dans ce chapitre tous les nombres considérés sauf mention du contraire sont des entiers
naturels.
1-Divisibilité-diviseurs-multiples
Définition 1. Un nombre a non nul est un diviseur du nombre b si le reste dans la division
euclidienne de b par a est nul.
En d’autres termes il un existe un autre nombre c tel que b = a c.
On dit dans ce cas là que a divise b.
Exemples. 3 divise 673, 15 divise 750. Par contre 2 ne divise pas 457.
Définition 2. Le nombre m est divisible par n si le reste dans la division euclidienne de m par
n est nul.
En d’autres termes, m est divisible par n si n est un diviseur de m.
Exemples. 673 est divisible par 3, 750 est divisible par 15.
Définition 3. Le nombre x est un multiple du nombre y si on obtient y en multipliant x par un
nombre entier.
En d’autres termes x est un multiple de y si x est divisible par y, ou si y est un diviseur de x.
Exemples. 673 est un multiple de 3, 750 est un multiple de 15.
Critères de divisibilité.
a- Pour savoir si un nombre est divisible par 2 on regarde si c’est un nombre pair. Son chiffre
des unités est 0, 2, 4, 6 ou bien 8.
b- Pour savoir si un nombre est divisible par 4, on regarde si le nombre composé de ces deux
derniers chiffres est un multiple de 4. Et pour savoir si un nombre composé de deux chiffres
est un multiple de 4, on regarde si la somme du chiffre des unités avec le chiffre des dizaines
multiplié par 2 est un multiple de 4. ( Pour 68 : 8 + 6 2 = 20… donc 68 est divisible par 4)
c- Pour savoir si un nombre est divisible par 5 on regarde si son dernier chiffre est 0 ou 5
d- Pour savoir si un nombre est divisible par 3 on fait la somme de ces chiffres et on regarde
si on obtient un multiple de 3.
1
··e- Pour savoir si un nombre est divisible par 9 on fait la somme de ces chiffres et on regarde
si on obtient un multiple de 9
f- Pour savoir si un nombre à 4 chiffres est divisible par 7, on multiplie le chiffre des milliers
par 6 on lui ajoute le chiffre des centaines multiplié par 2 puis on ajoute encore le chiffre
des dizaines multiplié par 3 et ajoute pour terminer le chiffre des unités. Par exemple 1764
est divisible par 7 car 6 1 + 2 7 + 3 6 + 4 = 42.
(ce critère n’est pas à connaître par cœur mais il est là pour ne pas croire que tous les
critères fonctionnent comme ceux par 3 et 9)
2- Nombres premiers
Définition 4. Un nombre est dit premier si et seulement si il possède exactement deux
diviseurs distincts. C’est à dire 1 et lui-même.
Exemples. Nous avons obtenu les nombres premiers inférieurs à 100 grâce à la méthode du
crible d’Eratosthène, en voici les huit premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Contre exemple. 1764 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 7.
Remarque. Avec les outils mathématiques du lycée il est très difficile de savoir si un nombre
est premier ou non. La liste des huit nombres premiers donnée précédemment est à connaître
par cœur. Elle servira pour obtenir les décompositions en facteurs premiers, objet du
paragraphe suivant.
3- Décomposition en facteurs premiers
On admet le théorème fondamental suivant.
Théorème. Tout entier naturel autre que 0 et 1 est :
• soit un nombre premier,
• soit un produit de nombres premiers.
2 3 2Exemple. 68796 = 2 3 7 13
Méthode pour obtenir la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel.
2 3Comment avons-nous fait pour obtenir que : 68796 = 2 3 7 13?
On a d’abord remarqué que 68796 est un nombre pair, on le divise donc par 2 et on obtient :
68796 = 2 34398.
On remarque ensuite que 34398 est encore divisible par 2, ainsi :
268796 = 2 2 17199 = 2 17199.
(On aurait pu remarquer que 68796 était divisible par 4 directement aussi)
Maintenant nous testons si 3 divise 17199. La réponse est oui car 1 + 7 + 1 + 9 + 9 = 27.
Donc :
268796 = 2 3 5733.
On voit encore que 5 + 7 + 3 + 3 = 18, donc :
2 268796 = 2 3 1911.
Ici encore : 1 + 9 + 1 + 1 = 12 est un nombre de la table de 3, ainsi :
2 368796 =2 3 637.
2
···················Cette fois-ci la somme des chiffres de 637 ne nous donne pas un multiple de 3. On regarde
donc si 637 est divisible par le nombre premier suivant, c’est à dire 5. De manière évidente
non. On regarde donc pour 7 : or 2 6 + 3 3 + 7 = 28 est divisible par 7, donc 637 aussi.
2 368796 =2 3 7 91.
Ici, 3 9 + 1 = 28 est dans la table de 7 donc 91 aussi.
2 3 268796 =2 3 7 13.
Le nombre 13 étant un nombre premier nous avons obtenu la décomposition en facteurs
premiers de 68796. (il n’y a que des puissances de nombres premiers)
La méthode peut se résumer à diviser par les nombres premiers en suivant leur ordre
croissant. Tant que le reste est nul on divise par 2. Quand ce n’est plus le cas on divise par 3.
Si le reste est nul on divise à nouveau par 3, sinon on divise par 5. Tant que la division par 5
donne un reste nul on continue sinon on passe à 7, puis à 11, puis à 13 etc…
Applications. La décomposition en facteurs premiers permet de simplifier des fractions, de
trouver le ppcm de dénominateurs pour trouver le dénominateur commun dans une somme de
fractions ou également pour simplifier des radicaux.
2 3 2 2 2 2Exemple. 68796 = 2 3 7 13 = 2 3 7 3 13
= 2 3 7 3 13
= 42 39.
Appendice. Cette partie est simplement pour les curieux et est nullement à connaître, ni
même à lire…
Explication du critère de divisibilité par 3.
On démontre ici pourquoi le critère de divisibilité par 3 fonctionne.
Proposition. Le reste dans la division euclidienne d’une puissance de 10 (10, 100, 1000, …)
par 3 vaut 1.
Explication. Nous avons en fait que 10 = 3 3 + 1, le reste vaut donc 1. Pour 100 nous avons
que 100 = 3 33 + 1, puis pour 1000 = 3 333 + 1, pour 10000 = 3 3333 + 1 etc… Le reste
vaut donc 1 à chaque fois.
Rappel sur l’écriture en base 10 des nombres. Notre système de numération, appelé
communément « les chiffres arabes », car introduit en Europe grâce aux arabes au moyen âge,
mais connu depuis la haute antiquité par les civilisations mésopotamiennes (Sumer, Akkad,
Babylonie, …), permet d’écrire tous les nombres à l’aide de seulement 10 symboles : les
chiffres.
Un petit rappel nous dit que le nombre écrit a a … a avec a a … , a des chiffres et n un1 2 n 1, 2, n
n n - 1entier quelconque supérieur à 1 signifie a a … a = a 10 + a 10 + … +a 10 + a1 2 n 1 2 n-1 n
5 4 3 2Ou sur un exemple : 628137 = 6 10 + 2 10 + 8 10 + 1 10 + 3 10 + 7.
Grâce à cette écriture et à la proposition précédente nous allons expliquer le critère de
divisibilité par 3 sur un exemple.
3719 = 3 1000 + 7 100 + 1 10 + 9 = 3 (3 333 + 1) + 7 (3 33 + 1) + 1 (3 3 + 1) + 9
= 3 (3 333 + 7 33 + 3) + 3 + 7 + 1 + 9 (après avoir développé et mis 3 en facteur là où c’était possible)
Ainsi 3719 = 3 N + (la somme des chiffres de 3719) : donc pour que 3719 soit un multiple
de 3 il faut que la somme de ces chiffres le soit aussi.
3
·····························································