Chapitre sur les polynômes Cours 2.

Parthe

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Sujets

• Nombres
• Algèbre
• Géométrie
• Formules mathématiques simples
• Opération
• Multiplication
• Soustraction
• Arithmétique

Informations

• Publié par: classe-de-1ere-sti
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

èreCours Polynômes (suite 1) 1 GMAF
II- Egalités de deux polynômes
Définition.
Deux polynômes P et Q sont égaux si et seulement si pour tout nombre réel x,
P(x) = Q(x).
Contre exemple.
3 2 3 2Pour P(x) = 2x –4x –4x - 6 et Q(x) = 2x + x -19x + 4.
Nous avons que P(1) = -12 et R(1) = -12. De même P(2) = -14 et R(2) = -14.
Nous avons donc bien que P(1) = Q(1), et que P(2) = Q(2).
Mais P(0) Q(0)… (vérifiez-le)
Donc nous n’avons pas que pour tout nombre réel P(x) = Q(x). Les polynômes ne sont donc
pas égaux.
Théorème.
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs monômes de même
degré sont égaux.
Application.
Les polynômes f et g définis pour tout nombre réel x par :
3 4 3 2f(x) = 2x + 4x – 5 et g(x) = ax + bx + cx + dx + e,
sont égaux si et seulement si :
a = 0, b = 2, c = 0, d = 4 et e = -5.
Remarque importante.
Il faut distinguer deux situations différentes :
1- Pour tout nombre réel x, P(x) = Q(x). Alors tous les coefficients de P et Q sont identiques.
2- Résoudre l’équation P(x) = Q(x). Alors le problème consiste à trouver les nombres x tels
P(x) = Q(x).
III- Factorisation par x – a
Théorème.
Si un polynôme P s’annule pour x = a, alors on peut mettre ( x – a ) en facteur dans ce
polynôme.
Il existe ainsi un polynôme Q tel que, pour tout nombre réel x : P(x)= ( x- a) Q(x).
Une telle factorisation est très utile pour trouver les racines d’un polynôme ou pour étudier
son signe. Il n’est par contre pas toujours évident de la trouver, mais dans les cas que nous
rencontrerons elle s’obtiendra à chaque fois avec la méthode utilisée dans l’activité 3.
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