Chapitre sur les polynômes Cours 3.

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• Publié par: classe-de-1ere-sti
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

èreCours Polynômes (suite 2) 1 GMAF
III- Le cas des polynômes du second degré
2Dans tout ce paragraphe nous considérons P(x) = ax + bx + c, avec a 0, b et c quelconques.
1- Factorisation d’un polynôme du second degré et étude de ses éventuelles racines.
Ce qui suit n’est pas à connaître, ni même à comprendre complètement. Seules les formules
encadrées sont à savoir par cœur.
2On a, P(x) = ax + bx + c.
Donc en factorisant par a, puisque a et non nul, on obtient :
b c2 P(x)= a ( x + x + )
a a
Puis on fait apparaître le début d’une identité remarquable :
2 2b b b c2 P(x) = a (x + 2 x + - + )
2a 2 2 a4a 4a
2b b b2 2On reconnaît alors que x + 2 + = ( x + )
2a 2 2a4a
2 2 2 2b c b 4ac -b + 4ac b - 4ac
Et on voit que - + = - + = = - 22 a 2 2 24a4a 4a 4a 4a
Donc on a :
2b b - 4ac2 P(x) = a [ ( x + ) - ]
2a 24a
2Ceci s’appelle la forme canonique de P(x) = ax + bx + c.
2On pose alors = b – 4ac .
Cette formule est à connaître par cœur. Elle nous servira très souvent.
b 2Le polynôme devient alors : P(x) = a [ ( x + ) - ].
2a 24a
b 2 2Ici ( x + ) est un nombre positif car c’est un carré. Il en est de même pour 4a .
2a
Par contre nous ne connaissons pas le signe de , cela dépendra à chaque fois des valeurs de
a, b et c.
Premier cas. Si > 0.
b 2 2Alors > 0 et P(x) = a (A – B ), avec A = x + et B =
2 2a 2a4a
2 2On peut donc utiliser l’identité remarquable A – B = ( A – B )( A + B ) et on obtient :
b b
P(x) = a ( x + - )( x + + )
2a 2a 2a 2a
Donc,
Ceci est la forme factorisée de P. Elle va nous permettre de trouver ses racines, grâce à la-b + -b -
Si >0, alors on a : P(x) = a ( x - )( x - ).
règle du produit nul. 2a 2a
1
DDDDDDDDDDD·DDDDDDDDDDD„D·DDDDDDDD·DDDD-b + -b -
On a, P(x) = 0 si et seulement si x - = 0 ou x - = 0.
2a 2a
-b - -b -
Donc, P(x) = 0 si et seulement si x = ou x = .
2a 2a
Deuxième cas. = 0.
b 2Si = 0 alors le polynôme devient : P(x) = a (x + )
2a
b 2On trouve alors une racine double pour P, celle qui annule (x + ) .
2a
b b
Ainsi on a, P(x) = 0 si et seulement si : x + = 0 c’est à dire si et seulement si : x = - .
2a 2a
Troisième cas. < 0.
b -2 2Nous sommes ici dans le cas où P(x)= a( A + B ) avec A = x + et B = .
2a 2a
Il n’y a dans ce cas aucune formule pour factoriser.
2 2En ce qui concerne les racines, nous voyons en fait que A + B ne peut jamais s’annuler car
2 2A est un nombre positif et B est un nombre strictement positif ; donc pour tout nombre x,
P(x) est un nombre strictement positif ou strictement négatif. Il ne s’annule donc jamais.
Ainsi si < 0 le polynôme P ne possède aucune racine.
2Tableau récapitulatif concernant le polynôme P(x) = ax + bx + c.
Le polynôme possède deux racines distinctes
> 0 -b - -b -
x = et x = 1 2
2a 2a
Le polynôme possède une racine double
b = 0 x = -
2a
< 0 Le polynôme ne possède aucune racine
2- Tracé de la courbe représentative d’un polynôme du second degré.
2
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDLa courbe représentative d’un polynôme du second degré est une parabole. Suivant le signe
du coefficient du monôme du second degré la courbe est orientée vers « le haut » ( a>0) ou
vers « le bas » (a<0).
Par ailleurs suivant le signe de la courbe coupe l’axe des abscisses en deux points distincts
( > 0 ), ou en un point double ( = 0 ), ou encore en aucun point ( < 0 ). Récapitulons
cela sur les graphiques suivants.
a>0 et > 0 a<0 et > 0
a>0 et < 0 a<0 et < 0
3
DDDDDDDD3- Tableau de signe et de variation des polynômes du second degré.
De tous ce qui précède nous pouvons établir les tableaux de signes suivants :
> 0
x - x x +1 2
2 signe de a 0 signe de -a 0 signe de aP(x) = ax + bx + c
< 0
x - +
2 signe de aP(x) = ax + bx + c
= 0
b
- - +x
2a
2 signe de a 0 signe de aP(x) = ax + bx + c
Nous avons également les tableaux de variations suivants :
Si a > 0
b
x - - +
2a
2P(x) = ax + bx + c
Si a < 0
b
- - +x
2a
2P(x) = ax + bx + c
4
DDD¥¥D¥¥¥DD¥DD¥¥D¥DDD¥