Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques ...

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Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques ...

Sujets

• mathématiques
• mathématique

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• Publié par: ovehoqux
• Nombre de lectures: 78
• Langue: Français

Extrait

Commissionder´eflexion

surl’enseignementdesmath´ematiques

Rapportd’´etapesurlag´eome´trie

et son enseignement

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0. Introduction. L’objectifdecetexteestdetenterder´epondreauxquestionssuivantes: •´mte´goeeualsetitairemen´el´rie“(”emmCotsen 1 seitrapemmoc)ueiqatemh´atsmde encettefindevingtiemesie`cle? ` •Fgienlrgae´moe´rtaut-ilencoreenseeege`lloe´cyluaturjoauieuciahud’e? •rietaue,g´lam´eoemenedtnne’lgiesteoclle`eg´’lnoedulitommeCalysntan er evo aulyce´e,danslesderni`eresde´cennies(disonsdepuis1960)etquelestl’e´tatdes lieux actuellement ? •Quelles propositions peut-on avancer en ce qui concerne l’enseignement de la geometrie, demain ? ´ ´ Cettedernie`requestionsesubdiviseenplusieursth`emes:quoienseigneren ge´ome´trie?commentenseignerlage´om´etrie?quellesrelations´etablirentrela g´e´tieetlesautrespartiesdesmathe´matiques?entrelage´om´etrieetlesautres eom r disciplines?quelleformationdesmaˆıtrespourenseignerlag´eom´etrie?

Notrere´ponsea`lapremie`requestionfaitl’objetdel’annexe1decetexte.Il s’agit,pourl’essentiel,d’unere´ponsemathe´matiquequelelecteurnonsp´ecialiste pourraomettredansunpremiertemps,encorequeleside´esquiysontavancees ´ influencentnotablementl’ensembledenotrepropos.Lavisiondelag´eom´etrie pr´esent´eedanscetteannexeestfondamentalementcelleduprogrammed’Erlangen deFelixKlein(unege´om´etriecorrespondpourl’essentiel`al’actiond’ungroupede transformations),maisavecunaccentparticuliermissurlathe´oriedesinvariants. ( 1 ele´ppleo,anxeetscet)Danm´eorietuieqeta´me´latneueri´genne´neesgi´nee`,ua momentou`aunautre,dansl’enseignementsecondairefranc¸ais(voireenclasses pr´eparatoires).Celacomprendbiensuˆrlage´om´etrieeuclidienneendimensions2 et3,maispasseulement(penser`alanotiond’inversionquirele`vedelag´eome´trie anallagmatique,`aladivisionharmoniquequiestunenotionprojective,etc.).

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Cepointdevue,compl´et´eparceluidemath´ematiciensdes18e`meet19e`mesie`cles, (Buffon, Crofton, Monge, etc.) voire celui d’artistes et d’architectes, a servi de base `alare´flexiondesauteursdecerapport. ` Alaquestion:faut-ilencoreenseignerlage´ome´trie,lacommissionarepondu,sans ´ he´sitation,demanie`repositive.Lesargumentsenfaveurdel’enseignementdela g´eom´etriesontnombreuxetonpeutlesr´epartirendeuxvolets. Le premier concerne la formation du citoyen. Il s’agit, d’abord, de l’importance de lavisiondansl’espace.Dansnotresocie´t´etoutentieretourneeversl’imagec’est ` ´ un point assez evident. Il s’agit, ensuite, de l’apprentissage du raisonnement que ´ permetlag´eom´etrie,plustˆotetsansdoutemieuxquetouteautrediscipline.Il s’agit,enfin,del’importancedelag´eome´triedanslaviecouranteetdesafonction danslesdomainescultureletesth´etique. Lesecondvoletconcernelaformationdesscientifiques(techniciens,ing´enieurs, chercheurs,professeurs).Nousmontronscombienlage´ome´trieestomnipre´sente danslessciencesetlestechniquesetcombienlefaitdepenserg´eom´etriquement est essentiel pour tous les scientifiques.

Encequiconcernel’´etatdel’enseignementdelag´eom´etrie,lacommissionatenu `afairer´efe´renceaud´ebatqui,danslesann´ees1950-70,apre´c´ede´l’introduction des“mathe´matiquesmodernes”dansl’enseignement,notammentauseindela commissionLichne´rowicz. En effet, il est clair,a posteriori,qpsioeirutnssuinanffisurtsuspleceube´d´atae´te etquecettereformes’esttraduiteparuncuisant´echecdontlesmathe´matiques ´ n’ontpasfinidepayerlescons´equences.Cen’estpaslelieuicideproce´dera` uneanalyseapprofondiedescausesdel’e´checdecettere´forme,maisilsemble ´evidentquelacommunaute´math´ematique,danssonensemble,asurestim´eses connaissancessurlesconditionsdeladiffusiondesmath´ematiquesetsous-estim´e lesprobl`emesculturels,e´pist´emologiquesetdidactiquesquesonprojetsoulevait. Aujourd’huiencore,lesquelquesconnaissancesqu’aapporte´eslarechercheen didactiquedesmathe´matiquessurcetypedeph´enome`nessontencoretroplimit´ees et insuffisamment connues. Encequiconcerneplusproprementlage´ome´trie,uneanalyseassezgrossie`re permetder´epartirlesraisonsdel’e´checdelare´formedesmath´ematiquesmodernes entroiscate´gories: •ocpressniengna,tmalgr´etoutelaiaretnostnei’la`primpa´etiraduonLai`erprem bonnevolont´edontilafaitpreuve.Peut-etremeˆmecefacteurest-ilsuffisantpour ˆ expliquerl’´echecdelar´eforme. •s.ue,didactilogiquesdegagoqiuqsete´pylIetiusneasoaisrdehoycpsns D’abord,onasansdoutesous-estim´e`al’´epoqueleroˆlejou´eparl’´etudedesfigures dans la construction de l’espace. Ensuite,l’introductiondel’alg`ebrelineaireaulyc´ee,quie´taitunedespierres ´ angulairesdelar´eforme,s’estheurt´ee`adesdifficult´esdidactiquesprofondesque lesauteursdelare´formen’avaientpaspr´evues. •iosna,muneecuqseolige´omiptset´equesmatith´eamsnosiarsednfineyaIl quiconcernelag´eom´etrie.Eneffet,cetter´eforme,s’appuyantsurunelecturetrop superficielleduprogrammed’Erlangen,a´evacu´eunepartieimportanteducontenu

Introduction

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delag´eom´etrie,l’appauvrissantainsidemanie`reessentielle.Enfin,laminoration durˆoledesinvariants,l’abandondescasd’´egalit´edestrianglessontautantde pointsdiscutables,tantsurleplanmath´ematiquequesurleplandidactique. Instruite,aumoinspartiellement,parcetteexp´eriencene´gative,lacommission asouhait´econjuguerl’audaceintellectuelledanslaconceptiondespossibilites ´ d’enseignementdesmathe´matiquesaveclaprudencen´ecessairea`lamanipula- tiond’unsyst`emeaussicomplexeetaussiessentielquelesyst`eme´educatif.Elle anotammentveill´e,auchapitredespropositions,`aconserverenme´moireles troispoints´evoqu´esci-dessus:coh´erencemathe´matiqueete´pist´emologique,con- traintes didactiques, formation des maıtres, avant de proposer des modifications ˆ substantiellesdenotreenseignementdelage´ome´trie. Parailleurs,lacommissionn’e´tantpascharg´eed’´etablirdesprogrammespre´cis, elles’estefforce´edeproposerdesperspectivesg´ene´rales,desugge´rerdesinflexions parrapporta`l’e´tatactueletd’indiquerdesthe`mesdere´flexion;enunmot,plutˆot quedepre´parerdenouveauxprogrammes,elleatent´edepromouvoirunnouvel ´etatd’esprit. Auniveaudescontenus,nospropositionsreprennentcertainsdesthe`mes´evoqu´es ci-dessus:renforcementdelage´ome´triedansl’espace,utilisationaccruedes invariantse´le´mentaires(longueur,angle,aire),re´habilitationdescasd’isome´trie destriangles,introductionenterminaled’uneg´eom´etrie“riche”. En ce qui concerne les modes d’enseignement, l’accent est mis sur le fait de “penserg´eom´etriquement”,surl’apprentissageduraisonnement,surl’utilisation des nouvelles technologies, ainsi que sur le lien avec les autres disciplines. Laformationdesmaˆıtres,enfin,a`laquellelacommissionattacheunegrande importance,faitl’objetd’unparagraphespe´cifique.Nospropositionsvisent`a conforterlaplacedelag´eom´etrie,a`lafoisdanslescursusuniversitairesetdans la formation (initiale et continue) des enseignants.

4 1.Pourquoienseignerlage´ome´trieaujourd’hui. Dans cette partie, nous tentons d’analyser les raisons de continuer – ou non – a`enseignerlageom´etrie´el´ementaireaucoll`egeetaulyc´ee.Lespremierspara-´ graphes, qui concernent notamment la vision dans l’espace et l’apprentissage du raisonnement, valent pour tous les citoyens. Nous envisageons ensuite l’apport de lag´eom´etriedanslesdisciplinesscientifiques,pourlaformationdestechniciens, desinge´nieurs,deschercheursetdesprofesseurs. a) La vision dans l’espace( 2 ). Sil’oninterrogedesnonmath´ematiciens,c’estsouventlepointquechacun s’accorde`amettreenavantenpremier:lag´eome´trieestlelieuou`l’onapprend a`appr´ehenderl’espace.Defaitc’estla´´etriedans l’espacequi est l geom e plussouventcit´ee.Lesargumentssontvariablesselonlesprofessions:pourun me´decinlavisionge´ome´triquesemanifestedanslesinterventionssousmoniteur enarthroscopieouenmicro-chirurgie,pourunnavigateurc’estletrace´surleglobe desge´ode´siquesetdesloxodromies,voirelesprofilsdescoquesdesbateaux,pour uninge´nieurlaperceptiondesmouvementsd’unsolide,etc. Ilnoussembledoncque,parmilesmissionssocialesquiincombenta`l’enseignement desmathe´matiques,cellededonnera`toutcitoyenlemoyend’avoiruneperception efficacedel’espacequil’entouresoitl’unedespriorite´s. Leprocessusdeconstructiondel’espaceae´t´etr`es´etudi´eparlespsychologueset notamment par Piaget. On sait que cette construction prend d’abord appui sur l’activite´ducorps:lesgestes,lesmouvements,lesde´placementspermettentune premiere prise de possession de l’espace. ( 3 ) ` ` A ce sujet, il est essentiel de noter que la connaissance de l’espace n’est pas re´ductiblea`lag´eom´etrie.Danslapratique,ils’yajoutedesnotionsd’e´chelle: onneperc¸oitpaslesobjetspos´essurunetableaveclesmeˆmesconceptsquela pie`cedanslaquelleon´evolue,lavilledanslaquelleonsed´eplace,oul’espacedes satellites,desplane`tesetdese´toiles. Cetteremarquevautnotammentpourl’enseignemente´l´ementaireo`uilestimpor- tantdebienfaireladistinctionentrelaconnaissancefamilie`redel’espace,qui estindispensablea`tous,etunvocabulaireg´eom´etriquedontl’introductiontrop pr´ecoceettropformellen’estpastoujoursutile.Nousreviendronsplusend´etail surceprobl`emedel’enseignemente´l´ementaireau§3.a). Parmilesthe`mesquirele`ventdecetteconnaissancedel’espaceetdontl’importance pratiqueestind´eniable,onpeutciterlessuivants:commentsediriger,sed´eplacer dans une grande ville inconnue, dans la campagne, dans les bois ou en mer ? Commentutiliseretproduireunplanpourde´terminerunepositionetpre´voirun trajet?Commentpre´voirsesde´placementsdansungrandbaˆtimentinconnu? Commentrepr´esentersespropresmouvements,sesd´eplacementsparrapportaux ( 2 le mot “vision dans l’espace”, s’il est commode, n’est pas parfaitement fait, ) En adapte´etpeutsere´ve´lerdangereux`al’usage.Onl’entendra,danscetexte,au sensde“connaissancefamili`eredel’espace”. ( 3 luilleelebunstseenu’dnoitartsDans)rdrecetooussdegeetmus-rdsee´di’dagnalel, compr´ehensionintuitived’unespacepluscomplexe,celuidespositionsd’unsolide (la main), qui est un espace (non affine) de dimension 6, cf. [BL].