COMPARAISON SERIES INTEGRALES

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COMPARAISON SERIES INTEGRALES

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  - -  - ` -  À  ¥ ˛ fi     ˛    "    " -   ˛  ¥   - ˛  fi  À  - "  ˛ ¥   - ˛ - ¥ -  -  ¥    "  ˛ " - fi  ˛   `     "    ¥  À   COMPARAISON SÉRIES-INTÉGRALES I) Encadrement d'une somme partielle par deux intégrales. I.1. Théorème : Soit n . Soit ƒ : [n ; + [ une application continue par morceaux et croissante. On a :0 0 qq q+1 2(p, q)  tel que n p < q : ƒ(t) dt ƒ(k) ƒ(t) dt0 p p+1 k = p+1 Soit n . Soit ƒ : [n ; + [ une application continue par morceaux et décroissante. On a :0 0 q q+1 q 2 (p, q)  tel que n p < q : ƒ(t) dt ƒ(k) ƒ(t) dt0 p+1 p k = p+1 Démonstration : Comme ƒ est croissante sur [n ; + [, on a :0 k n ; + , t [k ; k + 1] : ƒ(k) ƒ(t) ƒ(k + 1)0 En intégrant, pour t allant de k à k + 1 : Variante k+1 k n + 1, + , t [k, k + 1],0ƒ(k) ƒ(t) dt ƒ(k + 1) k ƒ(t 1) ƒ(k) ƒ(t) k k+1 En intégrant pour t allant de k à k + 1, onSoit encore, pour k > n : ƒ(t) dt ƒ(k) ƒ(t) dt0 k 1 k récupère (via une translation d'indice dans l'intégrale minorante) l'encadrementEn sommant, pour k allant de p + 1 à q, on obtient : ci-contre.q q q+1 ƒ(t) dt ƒ(k) ƒ(t) dt p p+1 k = p+1 Même principe. Moyen mnémotechnique pour retrouver ces inégalités : la somme partielle comporte q p termes, donc on intègre sur des intervalles de longueurs q p. Les inégalités sont évidentes d'après le sens de variation de ƒ. Exemples : Équivalent de la somme partielle de la série harmonique. 1 Avec ƒ : ]0 ; + [ définie par ƒ(t) = , on obtient (ƒ étant décroissante) : t nn+1 n1 1 1 dt dt 2 t k 1 t k =2 n 1 ln(n + 1) ln 2 ln n k k =2 n 1 D'où : ln(n + 1) + 1 ln 2 1 + ln n k k =1 Comparaison séries-intégrales Page 1 G. COSTANTINI  a a - a    -      ¥  -   a a -  -  a  a a -  a  fi  ¥ -  ¥  a fi - ¥ -    -     -  a  fi - ¥ -  a          - - a - fi a ¥ - a  -  - a  -  a  -  a  -  a     a  a  a - a - ¥  fi      a a  ¥ a a  a -   a   a ¥ `  -  a - a  Or, ln n ln(n + 1) et 0 1 ln 2, d'où : n 1 ln n 1 + ln n k k =1 n 1 ~ ln n +k k =1 Remarque : on peut retrouver ce résultat grâce à la série télescopique de terme général u = ln (n + 1) ln n.n 1 1 1 En effet, on a : u = ln 1 + = + on 2n n n 1 Donc : u ~k + k 1 Or, la série de terme général est divergente. k Du théorème de sommation partielle des équivalents pour les séries divergentes, on déduit : nn 1 u = k k k =1 k =1 n Et comme, u = ln(n + 1)k k =1 n 1 On a bien : ~ ln(n + 1) ~ ln(n) + +k k =1 Équivalent de la somme partielle de la série de Riemann dans le cas 0 < 1. 1 Avec ƒ : ]0 ; + [ définie par ƒ(t) = , on obtient (ƒ étant décroissante car 0 ) : t nn+1 n1 1 1 dt dt 2 1t k tk =2 n1 1 12 (n +1) 1 1 n 1 1 1 1k k =2 n 1 1 1 11 kn 2 1 1k =2En divisant par : 1+ 1 11 n n nn 1 1 1 1 2 1 1 Comme 1 > 0, lim = lim = 0 et lim 1+ = 1 n + n + n +n n n n 1 kk =2Du théorème des gendarmes, on obtient : lim = 1 1n + n 1 Comparaison séries-intégrales Page 2 G. COSTANTINI -   ¥ -      -  ¥     ¥ a   ˛  " - ¥ ¥ ¥ -  a   ¥     - ¥ -   ¥  ¥  ˛ - a -  a b a  a ` a ¥ a À - -  a  -  a a ¥  a    a a - -