CONCOURS D'ADMISSION A L'ESM DE SAINT-CYR EN 1992 MATHÉMATIQUES I ...

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CONCOURS D’ADMISSION A L’ESM DE SAINTCYR EN 1992

MATHÉMATIQUES I

Options M, P, T, TA

Durée : 3 heures

Calculatrice interdite

Dans l’appréciation des copies, il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements, de la précision de la rédaction, ainsi que de la présentation.

Le candidat pourra, à condition de l’indiquer clairement, admettre un résultat afin de traiter les questions suivantes.

Les copies mal rédigées ou mal présentées le sont au risques et périls du candidat. La formule de Stirling, horsprogramme, ne devra pas être utiisée.

PROBLÈME

Dans le problème,ndésigne un entier naturel non nul. Il est possible de traiter les deux parties du problème de façon indépendante.

PREMIÈRE PARTIE

cos(nx) 1 On considère la série de fonctions numériques de la variable réellex, de terme généralu n (x) =. 2 n a)Etudier la convergence de cette série.

On définit la fonctionf:R→Rpar : +∞ X cos(nx) pour tout réelx,f(x) =. 2 n n=1 b)Montrer quefest continue surR, paire et2πpériodique. Z π c)Calculer l’intégrale:I=f(x)dx. 0 Z π ∗ d)Calculer, pourp∈N, l’intégraleI p :f(x)cos(px)dx. 0 +∞ X cos(nx) e)La sérieestelle le développement en série deFourierdef? 2 n n=1 1