COURS d'ELECTROMAGNETISME

Jean-Jacques Labarthe

Sujets

• cours
• cours de

Informations

• Publié par: Otte
• Nombre de lectures: 666
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Universit´eParis-Sud Orsay Master de Physique P-F&A-452A ´ELECTRODYNAMIQUE CLASSIQUE ET QUANTIQUE J.-J. LABARTHE Ann´ee 2004-05´ELECTRODYNAMIQUE CLASSIQUE ET QUANTIQUE Mise `ajourdececourssurlesite http://qcd.th.u-psud.fr/page perso/Van-Wijland/ Premi`ere version : 6 septembre 2001 Cette version : 2 septembre 2004 Jean-Jacques LABARTHE Laboratoire Aim´e-Cotton www.lac.u-psud.fr Bˆ at 505 CNRS II 91405 ORSAY Cedex T´ el. : 01 69 35 20 49 Fax : [phone]` TABLE DES MATIERES 3 Table des mati`eres 1Formulation covariante 7 1.1 Rappel d’´electromagn´etisme . .................. 7 1.1.1 Les lois de l’´electromagn´etisme ......... 7 1.1.2 Syst`emes d’unit´es..................... 8 1.1.3 Potentiels ................. 8 1.2 Principe de relativit´e ....................... 11 1.2.1 Invariants, ´ecriture covariante .......... 12 1.3 Transformations de Lorentz . .................. 13 1.4 Quadrivecteurs . ................. 15 1.5 L’intervalle ........................ 16 1.6 Quadrivitesse. Quadriimpulsion ............. 17 1.7 Quadricourant . ......................... 18 1.8 Le produit scalaire ................ 20 1.9 Tenseurs.............................. 20 1.9.1 Vecteurs covariants ou 1-formes......... 21 1.9.2 Tenseurs covariants et N-formes . ........... 2 1.9.3 Produit tensoriel ................. 23 1.9.4 Tenseurs contravariants ................. 23 1.9.5 Tenseurs mixtes ................. 24 1.9.6 Alg`ebre tensorielle ................ 24 1.9.7 Calcul tensoriel : r`egles pratiques (1–4) ..... 24 1.9.8 Applications lin´eaires .................. 25 1.10 Propri´et´es m´etriques ............... 25 1.10.1 Le tenseur m´etrique . .................. 25 1.10.2 Correspondance entre quadrivecteurs et 1-formes ... 26 1.10.3 Calcul tensoriel : r`egles pratiques (5) .......... 27 1.11 Tenseur de Levi-Civita . ................. 27 1.12 Gradient.......................... 28 1.12.1 Le quadrigradient ................ 28 1.12.2 Le d’Alembertien ................. 29 1.12.3 Une interpr´etation g´eom´etrique du gradient ...... 29 1.12.4 Repr´esentation g´eom´etrique d’une 1-forme....... 30 1.13 Int´egrales quadridimensionnelles ................ 31`4 TABLE DES MATIERES 41.13.1 L’invariance de l’´el´ement de volume d x ........ 31 1.13.2 Fonction de Dirac quadridimensionnelle ........ 31 1.13.3 Int´egration par parties .................. 32 1.14 Quadripotentiel ...................... 33 1.15 Tenseur du champ ´electromagn´etique . ............. 3 1.16 Formulation covariante.................. 36 1.16.1 Formulation en termes du quadripotentiel . ...... 38 1.17 R´esum´e .............................. 39 2Lagrangien 40 2.1 Particule charg´ee dans un champ ext´erieur........... 40 2.1.1 Le principe de moindre action . ............. 40 2.1.2 Particule mat´erielle relativiste libre (en champ nul).. 42 2.1.3 Particule relativiste dans un champ ext´erieur ..... 43 2.1.4 Hamiltonien . ....................... 4 2.2 Corde classique `a une dimension ............ 45 2.2.1 Lagrangien . ....................... 45 2.2.2 Hamiltonien . ............... 47 ´2.3 Equations d’Euler-Lagrange champ continu . ......... 47 2.4 Lagrangien du champ ´electromagn´etique ............ 48 2.5 Fonctionnelle, d´eriv´ee fonctionnelle ............... 50 3Tenseur´energie-impulsion 55 3.1 Int´egrales sur une hypersurface . ................ 5 3.1.1 Flux d’un quadrivecteur . ............ 5 3.1.2 Th´eor`eme de Gauss ................... 56 3.1.3 Quadrivecteur de quadridivergence nulle ........ 56 3.2 Tenseur ´energie-impulsion .................... 57 3.2.1 Interpr´etation physique des composantes........ 57 µν µνµν3.2.2 D´ecomposition T = T + T . ......... 61part champ 3.2.3 Tenseur ´energie-impulsion d’une particule . ...... 61 3.2.4 Tenseur ´enerpulsion des particules ........ 63 3.2.5 Tenseur ´energie-impulsion du champ . ......... 64 µν 3.2.6 Composantes de T . ................ 64 champ 3.2.7 Tenseur ´energie-impulsion canonique . ......... 66 4Th´eorie quantique du rayonnement 68 4.1 Quantification d’un oscillateur harmonique . ......... 68 4.1.1 Quantification canonique ................ 68 4.1.2 Rappel sur l’oscillateur harmonique . ......... 70 4.1.3 Interpr´etation en termes de particules ......... 71 4.1.4 Ensemble d’oscillateurs harmoniques ind´ependants .. 71 4.1.5 Transformation unitaire . ................ 71 4.2 Lagrangien ........................ 72` TABLE DES MATIERES 5 4.3 Probl`emes dans la quantification ................ 73 4.3.1 M´ethode de quantification utilis´ee ....... 73 4.3.2 Autre m´ethode . ..................... 74 ´4.4 Elimination de φ,jau ge de Coulomb .......... 74 4.5 Conditions aux limites p´eriodiques . .............. 75 4.6 Potentiel vecteur : composantes A .......... 7nα 4.7 Hamiltonien ............................ 79 4.8 Quantification canonique............. 80 4.9 Modes normaux . ......................... 80 4.10 Op´erateurs du point devuede Heisenberg ....... 82 4.11 R´ecapitulatif des op´erateurs . .................. 83 4.12 Espace des ´etats ................. 84 4.13 Quantit´edemouveme nt du champ . .............. 87 4.14 Spin . ........................... 8 ´4.15 Emission spontan´ee.................... 90 4.15.1 Repr´esentation d’interaction . .......... 90 4.15.2 Calcul du taux de transition . .............. 93 5Th´eorie classique du rayonnement 96 5.1 Fonction de Green ........................ 96 5.1.1 R´esolution d’´equation.......... 96 5.1.2 Fonction de Green .................... 97 5.2 Potentiels retard´es .................... 99 5.2.1 Courant stationnaire . ..............10 5.3 Charge ponctuelle en mouvement ................10 5.3.1 Potentiels de Li´enard-Wiechert .........10 5.3.2 Champs E et B . .....................102 5.3.3 Formule de Larmor............104 5.4 Distribution de charges quelconque . ..............106 5.4.1 D´ecomposition spectrale des potentiels .....106 5.4.2 D´ecomposition spectrale de E et B...........106 5.4.3 Zone de rayonnement ..............107 5.4.4 Composante A (r) ................108ω 5.4.5 Energie rayonn´ee .................109 5.4.6 Sources p´eriodiques de p´eriode T . ...........110 5.4.7 Approximation dipolaire ´electrique .......11 6Int´egrales de chemin 114 6.1 Introduction............................14 6.2 Propagateur................15 6.2.1 D´efinition .........................115 ´6.2.2 Equation diff´erentielle..............115 6.3 Propagateur libre.....................16 6.3.1 Calcul ...................16`6 TABLE DES MATIERES 6.3.2 Discussion physique ...................17 6.4 Loi de composition . ...................19 6.5 Int´egrale de chemin . ...................120 6.6 Diagrammes de Feynman ................122 6.6.1 M´ethode perturbationnelle ...............12 6.6.2 Terme d’ordre 1 . ................123 6.6.3 Interpr´etation...................124 ´6.6.4 Equation int´egrale ................126 ACorrig´edesexercices 128 BBibliographie 131 CI ndex des noms propres 1337 1 Formulation covariante 1On se propose d’´ecrire les ´equations de Maxwell sous forme covariante. Pour cela on pr´esente le formalisme tensoriel apr`es quelques rappels sur la th´eorie de la relativit´e. 1.1 Rappel d’´electromagn´etisme 1.1.1 Les lois de l’´electromagn´etisme Les ´equations de Maxwell : ρ ∇·E = (1.1) 0 ∂E ∇∧B− µ = µ J (1.2)0 0 0 ∂t ∇·B =0 (1.3) ∂B ∇∧E + =0 . (1.4) ∂t Densit´edechargeρ et densit´edecourantJ pour un ensemble de N particules (la particule i de charge q est situ´ee en R (t)etsed´eplace `alavitesse V (t)i i i a` l’instant t): N N (3) (3) ρ(r,t)= q δ r− R (t) , J(r,t)= q V (t)δ r− R (t) .i i i i i i=1 i=1 (1.5) L’´equation de continuit´e(e lle est v´erifi´ee par (1.5)) : ∂ρ ∇·J + =0. (1.6) ∂t 1. James Clerk Maxwell (1831-1879)8 1. FORMULATION COVARIANTE 2La force de Lorentz agissant sur la charge q de vitesse V : F = q E + V ∧ B . (1.7) L’´etat du syst`eme champ + particules charg´ees est d´etermin´e, `auninstant t ,parladonn´ee des champs E(r,t )etB(r,t)entoutpointr et par0 0 0 les positions R (t )etvitessesV (t )despartic ules. Les densit´es de chargei 0 i 0 ρ(r,t )etdecourantJ(r,t )sontalo rs donn´ees par l’´equation (1.5). Les0 0 ´equations (1.2), (1.4)etles´equations du mouvement pour les particules sou- mises aux forces (1.7)d´eterminent l’´evolution du syst`eme au cours du temps. Les ´equations (1.1)et(1.3)peuventˆetre consid´er´ees comme des contraintes auxquelles sont soumises les variables E(r,t), B(r,t)etR (t)dusyst`eme.i 1.1.2 Syst`emes d’unit´es 3Ce cours utilise le syst`eme international (S.I.) .Voicilesv aleurs de quelques constantes : 2 −12 −1permittivit´e´electrique du vide =1/µ c ≈ 8,854187817 10 Fm ;0 0 −7 −2perm´eabilit´em agn´etique du vide µ =4π10 NA ;0 −1vitesse de la lumi`ere dans levidec = 299 792 458 m s . (1.8) 1.1.3 Potentiels Les propri´et´es suivantes, pour des champs A(r), B(r), F(r)etφ(r)dans tout l’espace ∇·B =0 ⇐⇒ ∃ A : B =∇∧A (1.9) ∇∧F =0 ⇐⇒ ∃ φ : F =−∇φ entraˆınent que les deux ´equations homog`enes de Maxwell (1.3)et(1.4)sont ´equivalentes `a l’existence d’un potentielvecteurA(r,t)etd’unpotentiel sca- 2. Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) 43. Le syst`eme d’unit´es de Gauss (cgs) d´efinit l’unit´edechargedesortequelaforce 5 2de Coulomb soit qq /r .Voicilaformedes´equations de la section 1.1 dans ce syst`eme d’unit´es. ∇·E =4 πρ expressions de ρ et J inchang´ees1 ∂E 4π ∇∧B− = J ´equation de continuit´einc hang´ee c ∂t c V ∇·B =0 F = q E + ∧ B . c1 ∂B ∇∧E + =0 c ∂t 4. Johann Karl (Carl) Friedrich Gauss (1777-1855) 5. Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806)´ ´ 1.1. RAPPEL D’ELECTROMAGNETISME 9 laire φ(r,t)telsque ∂A B =∇∧A, E =−∇φ− . (1.10) ∂t Les champs E et B restent inchang´es dans les remplacements ∂ψ = φ− , A −→ A = A +∇ψ, (1.11)φ −→ φ ∂t o`u ψ est une fonction arbitraire de r et t (invariance de jauge). La libert´e sur le choix des potentiels permet de leur imposer une contrainte. Nous 6utiliserons soit la jauge deLorenz (nomm´ee d’apr`es le physicien danois Lorenz qui a introduit les potentiels retard´es en 1867) en imposant 1 ∂φ ∇·A + =0 (condition de Lorenz), (1.12) 2