Cours de mathématiques

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Extrait

Cours

classe

de

de

mathématiques

Jacques

première

OURLIAC

L

option

-

2008/2009

2

Table des matières

1

2

3

Systèmes de numérations 1.1 Comment comptaient-ils ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Les Égyptiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Les Babyloniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Les Romains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Les Grecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 L’apparition du zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les bases de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Écrire les nombres aujourd’hui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Passage d’une baseB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . à la base 10 . 1.2.3 Passage de la base 10 à une baseB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Opérations en baseB. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . Arithmétique 2.1 Vocabulaire. Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Théorème de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Application : détermination des diviseurs d’un entier . . . . . . . . . . . 2.4 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Recherche du PGCD : algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Les programmes sur calculatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Généralités sur les fonctions 3.1 Introduction : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Cas particulier : les fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Résolutions graphiques d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5 5 5 5 6 7 8 9 9 9 9 10 13 13 13 14 15 15 17 17 18 19 19 19 20 21 23 23 25 25 25 26 26 27 27 27 28

4

4

5

6

TABLE DES MATIÈRES

3.6 Éléments de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivation 4.1 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Approximation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Dérivée d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Produit par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Dérivée d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Dérivée d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Fonction dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Variations d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilités 5.1 Introduction. Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Distribution de fréquences. Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Distribution de fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Quelques exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Intersection. Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Événement. Événement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Intersection. Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie 6.1 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Conservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Règles de dessin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Surprises ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J. OURLIAC- Cours de 1L option math

29 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 37 37 37 37 38 38 39 39 40 40 41 43 43 44 44 46 47 47