Cours de Physique Statistique

Bahram Houchmandzadeh

Description

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Université de Grenoble, Département de Physique. Cours de Physique Statistique Bahram Houchmandzadeh Dernière mise à jour : 30 mai 2011 http ://houchmandzadeh.net/PhyStat/phystat.htm

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Extrait

Université de Grenoble, Département de Physique.
Cours de Physique Statistique
Bahram Houchmandzadeh
Première version : Septembre 2008.
Dernière mise à jour : 13 mars 2012
http ://houchmandzadeh.net/PhyStat/phystat.htm23Table des matières
1. Introduction. 8
2. Le monde microscopique. 11
3. La description probabiliste des systèmes physiques. 16
3.1. Le concept de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Probabilités : approfondissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Postulat fondamental de la physique statistique. 31
4.1. Mise en place. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Développements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1. Densité d’état. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2. Systèmes non-couplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3. Système de particules indiscernables. . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5. Liens avec la thermodynamique. 48
5.1. La première loi de la thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. L’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3. Changement de température. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.t de volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5. Principe de minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6. Les forces généralisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6.1. Un peu plus sur la pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6.2. Généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7. Fluctuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4Table des matières
6. Exemple fondamental 1 : le gaz parfait. 64
6.1. L’énergie libre & co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3. Ajout de degrés de libertés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4. Mélange de gaz parfait et le paradoxe de Gibbs. . . . . . . . . . . . . 72
6.5. Théorie cinétique des gaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5.1. Le calcul de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5.2. (F) Le calcul de Smulochowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6. Détour : construire une simulation numérique des gaz parfaits. . . . 77
7. Applications des gaz parfaits. 78
7.1. Réactions chimiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.1. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2. Adsorptions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.1. exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2.2. Détour : la microbalance à quartz. . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2.3. : la micro-calorimétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3. Systèmes dilués. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.4. Au delà de l’approximation des gaz parfait : le développement de Viriel. 83
8. Exemple fondamental 2 : l’oscillateur harmonique. 84
8.1. Le potentiel harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2. Voir les fluctuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3. Fonction de partition d’un oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . 86
8.4. Les atomes d’un cristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.4.1. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.5. Le cristal quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.6. Les phonons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.6.1. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.6.2. Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.7. La statistique des phonons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.7.1. Problème : le spectre de vibration d’un cristal à 2 dimensions. 109
8.8. Détour : les cristaux à 1,2 et 3d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5Table des matières
9. Applications de l’oscillateur harmonique. 110
9.1. Conformation des polymères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.2. Bruit électronique de Johnson-Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.2.1. Détour : le frigidaire à base de son. . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.2.2. : Effet pelletier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.3. La corde vibrante et la divergence ultraviolette. . . . . . . . . . . . . 110
9.3.1. à ne pas oublier ici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.Quelques développements et problèmes intéressants. 111
10.1.Le magnétisme : para et ferro. . . . . . . . . . . . 111
10.1.1. Interaction seulement avec le champ : le paramagnétisme. . . 111
10.1.1.1. Fonction de partition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.1.1.2. Moyennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.1.2. Interaction avec les voisins en approximation champ moyen :
le ferromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.1.3. Le Calcul de Langevin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.1.3.1. Le paramagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.1.3.2. Le ferromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.1.4. Le calcul quantique et les spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.1.5. Réflexions sur le modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2.Spectre de fluctuation des polymères semi-rigide. . . . . . . . . . . . 116
11.Le gaz quantique. 117
11.1.Concepts généraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.2.Gaz d’électron dans un solide : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12.La route vers l’équilibre. 121
12.1.Le modèle d’Ehrenfest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.2.Théorème H en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.3. H en classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.Le mouvement Brownien. 128
14.Les Transitions de Phases. 129
6Table des matières
15.Réponse Linéaire et théorie cinétique. 130
16.La seconde quantification. 131
16.1.Un peu de Rappel de la mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . 131
16.1.1. Un peu de mathématiques des opérateurs linéaires. . . . . . 131
16.1.2. La mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.1.3. Physique Statistique des systèmes quantiques. . . . . . . . . . 140
A. Quelques notions mathématiques. 141
A.1. L’intégrale d’une gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2. Les multiplicateurs de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.3. La méthode d’approximation de Laplace et le “steepest descent” . . . 142
B. Encore plus de probabilité! 143
B.1. Somme de deux variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.2. Fonction d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.3. Autres fonctions additives, le cumulant. . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.4. Distribution de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C. La transformation de Legendre. 149
D. Corrigé des exercices. 150
E. Pêle-mêle, avant que j’oublie. 152
71. Introduction.
Il existe des centaines de livre sur la physique statistique et on peut douter de
l’utilité d’ajouter un autre ouvrage à l’ensemble déjà existant. Je voudrais donc dire
quelques mots ici pour justifier l’existence de ce manuscrit.
Je me souviens quand en tant qu’étudiant j’ai abordé ce sujet. La physique statis-
tique était considéré comme un cours difficile par les étudiants de niveau L3. Nous
commencions le cours par un grand rappel de la mécanique analytique, sujet encore
peu assimilé à cet âge, de l’espace des phases, des trajectoires et de conservation
de volume dans cet espace à 3N ou 6N dimension, des micro et macro états, de
l’équipartition,... Nous avions soudain l’impression d’être submergé par un flot de
concept supérieur et écrasant. Après un long détour par ces concepts, nous arrivions
enfin à exp( E=T ) et là, tout devenait plus paisible. Nous n’avions plus besoin de
tout ces concepts supérieurs qu’on pouvait allégrement oublier et nous en venions
à calculer les phénomènes physiques, la chaleur spécifique des solides, le moment
magnétique d’un gaz sous champs, une transition de phase, le spectre de fluctuation
d’un polymère, la signification de la viscosité ou du coefficient de diffusion,... Tout
d’un coup, l’ensemble de la physique à température finie nous