COURS MIAS 301 (Analyse)
93 pages
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COURS MIAS 301 (Analyse)

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COURS MIAS 301 (Analyse)
Alain Yger
4 avril 2005 Table des matieres
1 Series numeriques 1
1.1 Deux concepts : suites et series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Series a termes positifs; criteres de comparaison . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Comparaison avec les series geometriques . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 avec les series de Riemann . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Confrontation serie/primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Series a termes quelconques non alsolument convergentes . . . . . . . 19
1.4.1 Le critere des series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 L’integration par parties discrete . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Les criteres d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Operations sur les series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Suites et series de fonctions 31
2.1 Suites, series de; convergence simple, uniforme . . . . . . . 31
2.1.1 Les concepts de suite et serie de fonctions . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Convergence simple; convergence uniforme . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Les criteres de Cauchy (simple et uniforme) . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Convergence normale d’une serie de fonctions . . . . . . . . . 35
2.1.5 Regularite des fonctions et passage a la limite . . . . . . . . . 37
2.2 Suites de fonctions et integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Integration ...

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Langue Français
COURS MIAS 301 (Analyse)
Alain Yger
4 avril 2005
Table
1
2
des
matieres
Seriesnumeriques 1.1Deuxconcepts:suitesetseriesnumeriques........ 1.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Seriesatermespositifs;criteresdecomparaison..... 1.3.1Comparaisonaveclesseriesgeometriques..... 1.3.2ComparaisonaveclesseriesdeRiemann..... 1.3.3Confrontationserie/primitive........... 1.4Seriesatermesquelconquesnonalsolumentconvergentes 1.4.1 Le critere des series alternees . . . . . . . . . . . 1.4.2Lintegrationparpartiesdiscrete......... 1.4.3 Les criteres d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5Operationssurlesseriesnumeriques............
. . . . . . . . . . .
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Suites et series de fonctions 2.1Suites,seriesdefonctions;convergencesimple,uniforme....... 2.1.1Lesconceptsdesuiteetseriedefonctions........... 2.1.2 Convergence simple ; convergence uniforme . . . . . . . . . . . 2.1.3LescriteresdeCauchy(simpleetuniforme).......... 2.1.4Convergencenormaleduneseriedefonctions......... 2.1.5 Regularite des fonctions et passage a la limite . . . . . . . . . 2.2Suitesdefonctionsetintegration.................... 2.2.1Integrationdiscrete....................... 2.2.2Integrationcontinue....................... 2.3Seriesentieres............................... 2.3.1 Une premiere approche et plein d’exemples . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rayon, disque, cercle de convergence . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3Seriederivee,serieprimitive................... 2.3.4RegledAbelpourlesseriesentieres............... 2.3.5FonctionsreellesanalytiquessurunintervalledeIR...... 2.3.6Fonctionsreellesanalytiquessurunintervalleetoperations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7Lesfonctionsdeveloppablesenserieentiereclassiques.... 2.4SeriesdeFourier............................. 2.4.1 Le spectre d’une fonctionT. . . . . . . . . . . . -periodique . 2.4.2SeriedeFourierdunefonctionf. . . . . . . . .. . . . . . . 2.4.3ConservationdelenergieettheoremedePlancherel......
1 1 3 9 11 15 17 19 19 21 23 25
31 31 31 32 34 35 37 42 42 45 53 53 54 56 60 64
65 67 74 74 77 86
Chapitre
Series
1.1
1
numeriques
Deux
concepts:suitesetseriesnumeriques
Unesuite numeri ueendioatrlsuie nlbmesnesedeapneicplit nnuioaptsedre entiersIN(oueventuellementlensembledesentierssuperieursouegauxaunseuil n0IN) et a valeurs dans C : par exemple les applications :
nIN nIN
nIN\ {0,1}
zn(zC) n zexp( zlogn) = 1 n(n 1)
de nissentdessuitesnumeriques;onnoterademaniereabregeeunetellesuitesous la forme (un)nn0,n0bmerelonuqlecadundeuileleseesitnemptnaceredgnsiun nestplusde ni.Onditqueunestretelemneearluite.Siletermegdlesaenelar delasuiteesttoujoursunnombrereel,lasuiteestditea valeurs reelles.
C’est sans doute avec lenoenaorxadeZed les questions qu’ilqu’apparaˆt (avec engendre en analyse) le concept de ueserie numeri. Rappelons ce paradoxe celebre : un archer (se trouvant en un pointA)nclaneeu ceehadsnaliderctiondunpoint Behce aLraleuq,nclaercheed.AversBparcourt d’abord la moitie de la distance, quisepareAetBrelance depuis son point d’impact, mais la force de son; puis il la brasayantdiminuedemoitie,la echeneparcourtpluscettefoisquelamoitiede ladistanceseparantlemilieude[A, B] (ou elle etait arrivee au premier jet) deB; le processus continue ainsi, la conclusion (qui constitue le dit paradoxe) est que la echenatteindradefaitjamaissonbut!Onpeutaussiformulerceparadoxeplus serieusementenenoncantuneassertionmathematiquequiestloindeˆtresianodine quecela(elleadesconsequencesinteressantesconcernantparexemplelalocalisation danslechampcomplexedesracinesdlˆomeacoecientscomplexesen un po yn fonction precisement de ses coecien ts) : siE={1, ..., n}est un sous-ensemble ni de Ctel que n Xj= 0,  j=1
il existe toujours deux elements distinctsetdeEtels que||/|| ∈[1/2,2] ; pour voir cela, supposons que le cardinal deEvaillenet ordonnons les elements desE
1
dans l’ordre des modules decroissants :
|1 || 2| ... |n|>0 ; silaconclusiondelassertionsetrouvaitendefaut,onaurait: |1|>2|2|>4|3|>  >2n|n|.
Or 1= 2 3 l’inegalite triangulaire donne : |1 || 2|+  +|n|<11+2 4+
 
n;
+11 1 121n|1|, 2n!|1|12= 2
ce qui donne |1|<1 12n|1|, conclusion contradictoire avec|1|>0. L’axiomatique de IN inclut le fait que tout entiernadmet un successeurn ;+ 1 lideedeserie(onconnaitlesconceptsnafdeloidesseries,seriesdevenements, etc...)remontebiensuˆralantiquiteetconstituait(leparadoxedeZenonenestun exemple) une perception analytique de l’in ni.
De nition 1.1Soit(un)nn0une suite numerique on appelle serie numeri ue de ; termeeneralula suite(Sn)nn0de nie selon la regle inductive :
Sn=Sn 1+un,
nn0+ 1,
(1.1)
laconditioninitialeetant: Sn0=un0; laseriedetermegeneralun(que l’on notera aussi[un]nn0) est donc la suite n [un]nX; (1.2) n0:=k=n0uk!nn0 on dit queSn:=Pnk=n0ukest lanerdrolaelumu-esemmeomrtalleiuo(eotelclat neretedrieasel)darlneeemgun,nn0.
Notons tout de suite que le processus de “capitalisation” desuk.1)regle(1slenoal joueunrˆoleessentiel:silonimagineparexemplelesentiersordonnessuivant l’ordre : 0,1,3,2,5,7,9,4,11,13,15,17,6,19,21,23,25,27,8,29, ... et que l’on “capitalise” suivant cet ordre la suite (un)n0tedeegrmnealerun= ( 1)nn edisnrapeiquel erateaiasuieiro,vn e e e S0=u0, S1=u0+u1, S2=u0+u1+u3 e e S3=u0+u1+u3+u2, S4=u0+u1+u3+u2+u5, ... estunesuitedontletermegeneralnestpasbornetandisquelaseriedetermegeneral unearl,tseelleenu,tiusonedettlmeerengSnappartient a{0,1}(S2k= 1, S2k+1= 0 pourkIN). Les deux processus de “‘capitalisation” de la suite (un)n0donnent naissanceadessuitesnumeriquesdenaturedi erente,cequimontrebienquela regledecapitalisationimposeeen(1.1)joueunroˆleessentiel.Onyreviendra.