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  • cours - matière potentielle : du temps
  • cours - matière potentielle : mp
Cours MP Techniques de Traitement du Signal Une approche phénoménologique O. Laligant, F. Truchetet 2010
  • d’amplitude 23 3.1 problématique
  • s­s0 figure
  • bout d’un temps
  • temporelle d’intégration
  • d’une équation
  • chau¤age d’une pièce
  • transistor en régime saturé
  • temps en intervalles
  • temps d’intégration
  • opérateur d’échantillonnage
  • signaux aléatoires
  • fenêtre temporelle
  • régime permanent
  • réponses
  • réponse
  • temps
  • systèmes
  • système

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Langue Français

Exrait

Cours MPTechniques deTraitement duSignal
UneapprochephØnomØnologique
O. Laligant, F. Truchetet
2010iiContents
1 La convolution 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Approximation discrŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Retour au cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 DØ nition du produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 RØponse d un SLI à partir du produit de convolution . . . . . . . 7
1.3.1 Principe de fonctionnement de opl Ørateur "convolution" . 7
1.3.2 PropriØtØs du produit de convolution . . . . . . . . . . . . 9
1.4 RØponse d un SLI à un signal sinuso dal . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 RØponse à une exponentielle complexe . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 RØponse à une entrØe sinuso dale . . . . . . . . . . . . . . 11
2 La corrØlation des signaux 13
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 ReprØsentation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Signaux continus, signaux dØterministes, signaux alØatoires 13
2.2.2 discrets, dØterministes, 14
2.3 IntercorrØlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 AutocorrØlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 PropriØtØ fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 IntercorrØlation du bruit blanc et applications de l intercorrØlation 19
2.6.1 DØtermination de la rØponse impulsionnelle d un SLI . . . 19
2.6.2 Application à la synchronisation de systŁmes . . . . . . . 20
2.6.3àladØtection/reconnaissancedesignauxnoyØs
dans le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Modulation d amplitude 23
3.1 ProblØmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 La modulation d amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 La dØmo d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 DØtecteur d enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 DØtection synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iiiiv CONTENTS
3.4 Les modulations angulaires (de frØquence et de phase) . . . . . . 30
3.5 DØmodulation de frØquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Chapter 1
La convolution
1.1 Introduction
On se propose d Øtudier les systŁmes LinØaires etInvariants SLI. Nous nous
restreindrons aux systŁmes scalaires possØdant une entrŁe et une sortie et ne
dØpendant que d une variable:
e(t)!s(t)
Un systŁme invariant a des propriØtØs qui ne varient pas avec le temps. Le
choix de originel de Øcl helle temporelle est indi⁄Ørent. De fa on plus formelle
pour ces systŁmes on a
e(t t )!s(t t ) 8t ;t0 0 0
Exemples: un composant passif ou actif Ølectrique, rØsistance, inductance,
capacitØ,transistor,ampli. op.,unressort,unradiateur,unopØrateurderetard,
etc. De nombreux dispositifs physiques peuvent Œtre modØlisØs par un systŁme
invariant.
Contrexemples: unopØrateurd inversiontemporel,unopØrateurd Øchantillonnage.
UnsystŁmelinØairereproduitensortielescombinaisonslinØairesd excitation
(ou entrØe). De fa on plus formelle
e (t) +e (t)!s (t) +s (t) 8;;t1 2 1 2
Exemples: un composant passif Ølectrique, un ampli. op. pour des niveaux
infØrieursauxtensionsdesaturation,unressortutilisØdanssalimited ØlasticitØ,
Contrexemples: un transistor en rØgime saturØ, une diode, une diode zener,
un opØrateur de seuillage,
Dans de nombreux cas pratiques un systŁme linØaire et invariant peut-Œtre
dØcrit par une Øquation di⁄Ørentielle linØaire à coe¢ cients constants (circuit
RC).
PrenonsunexemplesimplechoisihorsduchampdeØlectricitØ:l onconsidŁre
un bassin alimentØ en eau et muni d une ouverture de trop plein; à noter que la
12 CHAPTER 1. LA CONVOLUTION
e
H
s
Figure 1.1: Exemple d un rØservoir muni d un trop plein
conduction de la chaleur dans un solide peut Œtre modØlisØe de la mŒme fa on.
OnsupposequeledØbitdeeaul estproportionnelàlasectiondelaveineliquide.
Si ouvl erture du trop plein a des parois verticales, le dØbit du trop plein d est
proportionnel à la hauteur de l eau à partir d une certaine valeur Øgale à la
hauteurs du "bec" du dØversoir: d =a(s s ) sis>s . La hauteurs de eaul 0 0 0
dans le bassin est supposØe proportionnelle au volume d eau stockØ v: s = kv.
Le dØbit d arrivØe d eau e est enl trØe du systŁme. On exprime la variation de
volume de eaul contenue dans le bassin par
dv
=e d
dt
1ds
=e a(s s )0
k dt
L Øquation di⁄Ørentielle qui rØgit Øvl olution du sytŁme s Øcrit donc
1ds
+a(s s ) =e0
k dt
Ce systŁme est un SLI si le dØversoir est alimentØ. Il est non-linØaire dans
le cas gØnØral car il y a alors deux rØgimes de fonctionnement: un rØgime de
remplissage sans constante de temps et un rØgime de rØgulation avec un temps
de rØponse. Il est Øgalement non linØaire si les parois du bassin ou du dØversoir
ne sont pas verticales. Il est dans tous les cas invariant.
Des exemples analogues pourraient Œtre donnØs en thermique ou en Ølectric-
itØ: chau⁄age d une piŁce, thermomŁtre, galvanomŁtre à aiguille, et dans bien
d autres domaines. Les SLI sont un modŁle trŁs courant, ils ont en gØnØral une
plagerestreintedevaliditØpourchaquecas, maisilspermettentunedescription
simple de nombreux dispositifs et phØnomŁnes. Dans exeml ple proposØ ci-
dessus, l Øquation di⁄Ørentielle peut-Œtre rØsolue assez facilement pour certaines1.1. INTRODUCTION 3
fonctions d entrØe: Øchelon, impulsion, sinuso de, mais la rØponse gØnØrale est
a priori di¢ cile à dØterminer car il faut trouver une solution particuliŁre de
Øquationl avec second membre, et ce second membre peut avoir une expression
compliquØe.
Exemple de rØsolution pour un Øchelon unitØ: si e(t) = Eu(t), u(t) est la
"fonction" Øchelon d amplitude 1 et si à t = 0, s =s0
E akts s = (1 e ) (1.1)0
a
On voit que la hauteur de l eau dans le rØservoir (1.2), aprŁs une pØriode
s­s0
t
Figure1.2: Evolutiondelahauteurdeeaul danslerØservoiraucoursdutemps.
transitoire atteint une valeur …xe qui correspond au rØgime permanent. Cette
valeur est proportionnelle au dØbit d entrØe de eau,l le systŁme est linØaire:
E
s s =0
a
1Le systŁme est caractØrisØ par une certaine constante de temps = et onak
considŁre que le rØgime permanent est atteint ( 5% prŁs) au bout d un temps
Øgal à trois fois la constante de temps. Cette constante de temps dØpend en
Hparticulier du volume (V) du bassin: k = , plus le bassin est grand pour uneV
profondeurH donnØe,pluslaconstantedetempsseragrande. Onpeutdireque
le systŁme a besoin d un certain temps d intØgration pour atteindre son Øtat
permanent. Pendant ce temps d intØgration, eaul s accumule dans le rØservoir
et la sortie à chaque instant est le rØsultat de cette accumulation, cet e⁄et de
"retard" s estompe progressivement et le rØgime permanent est atteint.
1.1.1 Approximation discrŁte
En dØcoupant le temps en intervalles, t trŁs petits, on peut admettre que le
systŁme n Øvolue notablement qu aux frontiŁres des intervalles de temps et que
durantl intervalleilrestestationnaire. Onnotera t =nt. Danscesconditions

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