cours nombres complexes(1)

Mondher Smaali

Description

Alphamaths. 4°MATH. COURS. 1. I- RAPPELS. 1°- l’imaginaire i…. 2°- Définition…. 3°- Forme algébrique d’un complexe…. NOMBRES 4°- Forme trigonométrique d’un complexe…. COMPLEXES. II- NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE. 1°-Affixe d’un point et d’un vecteur…. 2°-Avec deux points…. 3°-Avec deux vecteurs…. 1 SMAALI.MONDHER. http://alphamaths.12r.org 4°M. I/-RAPPELS: 1°- l’imaginaire i : ▲ On appelle i un nombre dont le carré est –1. On décrète que i est la racine de -1. 2 2Ainsi : i = -1. Et alors, aussi : (-i) =-1 2°- Définition ▲ On appelle corps des nombres complexes, et on note ℂ un ensemble contenant ℝ tel que : 2· Il existe dans ℂ un élément noté i tel que i =-1 · Tout élément de ℂ s'écrit sous la forme (a + ib), où a et b sont des réels. · ℂ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que celles connues dans ℝ Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z. 3°-Forme algébrique d’un nombre complexe : ▲ L’écriture z=a+ib est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a=Ré(z). b est la partie imaginaire de z, on note b=Im(z). Nombres complexes particuliers : Soit un nombre complexe z = a + ib avec a∈ ℝ et b∈ ℝ. · Si b = 0, on a z = a, z est un réel. · Si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire).

Sujets

• cours

Informations

• Publié par: alphamaths
• Publié le: 14 février 2012
• Nombre de lectures: 222
• Langue: Français

Extrait

Alphamaths. 4°MATH. COURS. 1. I- RAPPELS. 1°-l’imaginaire i…. 2°-Définition…. 3°-Forme algébrique d’un complexe…. NOMBRES COMPLEXES. 4°- Formetrigonométrique d’un complexe…. II- NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE. 1°-Affixe d’un point et d’un vecteur…. 2°-Avec deux points…. 3°-Avecdeux vecteurs….

1 SMAALI.MONDHER.

http://alphamaths.12r.org 4°M.

I/-RAPPELS: 1°-l’imaginaire i:▲ On appelleiun nombre dont le carré est–1. On décrète queiest la racine de -1. 2 2 Ainsi : i= -1 . Et alors, aussi : (-i)=-1 2°- Définition▲ ℂ ℝ On appelle corps des nombres complexes, et on noteun ensemble contenant tel que : 2 ℂ ·=-1un élément noté i tel que iIl existe dans ℂ ·s'écrit sous la forme (a + ib), où a et b sont des réels.Tout élément de ℂ · estmuni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes ℝ règles de calcul que celles connues dans Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z. 3°-Forme algébrique d’un nombre complexe:▲ L’écriture z=a+ib est la formealgébrique du nombre complexe z. Ré a est la partie réelle de z, on note a=(z). Im b est la partie imaginaire de z, on note b=(z). Nombres complexes particuliers : ∈ ℝ∈ ℝ Soit un nombre complexe z = a + ib avec aet b. · Si b = 0, on a z = a, z est un réel. · Si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). Conjuguéd’un nombre complexe : Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib. zz On appelle conjugué de z le nombre complexe notétel que= a - ib. ℂOpérations dans: Les opérations sur les nombres complexes (somme, produit, quotient, opposé, inverse, puissance…) sont analogues aux celles dans IR. Egalité de deux complexes : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a a =a′  ⟺ ⟺ a + ib = a' + ib'(a; b) = (a’; b') b =b′ ⟺ Conséquence : z=a+ib est nula=b=0.

2 SMAALI.MONDHER.

http://alphamaths.12r.org 4°M.

▲ 4°-Forme trigonométrique d’un nombre complexe: Module d’unnombre complexe : Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib. 2 2  + On appelle module de z le nombre réel positif r= On note r=|z|. Argument d’unnombre complexe (non nul) : Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib et de module r. a cos = θ r   On appelle argu:  ment de z tout anglevérifiant b sin = θ r ≡ [2] On note Arg(z). Remarque : un complexe admet plusieurs arguments. Forme trigonométrique d’un nombre complexe(non nul) : La forme trigonométrique d’un nombre complexe znon nul est : ∗  ∈ =∈ . z = r. (cos+ i sin ), où: r=|z| + et Arg(z) Propriétés sur les modules : ⇔ ≤ |z|=0 z=0; |-z|=|z|; ||=|z| ;|z + z'||z|+|z'| n n ′ ∈ ≠1/ |zz'|=|z|.|z'| ;|z |= |z|,n INsi z'* ;0 alors ||=1/|z’| et |z/z'|=|z|/|z'| 2 2  ∈ ≠ z =|z|(donc zIR+) ;si z0 alors 1/z= /|z|. Propriétés sur les arguments : Soient z et z' deux nombres complexes non nuls, on a : ≡ · arg(zz')arg z + arg z' [2π] ≡ · arg (1/z)- arg z[2π] ≡ ·arg(z/z’)arg z - arg z' [2π] n ≡ · arg (z) narg z[2π] z ≡ · arg () -arg z[2π] ≡ · arg (-z)arg z +π[2π]

3 SMAALI.MONDHER.

http://alphamaths.12r.org 4°M.

II/- NOMBRES COMPLEXES Et GEOMETRIE. , Le plan (P) rapporté à un repère orthonormé direct (O,) est appeléplan complexe. 1°- affixed’un point-affixe d’un vecteur:▲ A tout nombre complexez=a+ib, on peut associer dans (P)   Le point M (a;b= (a,) ou le vecteurb).  La distance OM : r=|z|  ,  L’angle () :=Arg(z)   z = a−ib u,OM′ =− Le point M’=S (O, ) (M) :M’ () et ()= 1  u,OM′′ =+ Le point M’’=S O (M) :M’’ ()=-z=-a-ib) et ( 2

4 SMAALI.MONDHER.

http://alphamaths.12r.org 4°M.

2°- avec deux points :▲ Soient A et B deux points distinctsde (P) d’affixes respectifs z A et z B . AB Le vecteurest d’affixe: AB =z B -z A AB || = |zDistance entre A et B : AB=|| B -z A |.  AB= (,ܣܤ)≡ L’angle formé paret :Arg (z B -z A ) [2π].

3°- avec deux vecteurs :▲ ܣܤ ܥܦ Soient et deuxvecteurs de (P), où A (z A ) ; B (z B ) ; C (z C ) et D (z D ) sont des points distincts de(P).  −  ܦ ܥ ܣܤ ܥܦ (ܣܤ,ܥܦ)≡ )  2 π . L’angle formé parArg (et :  − ܤ ܣ  − ܦ ܥ ܣܤ ܥܦ et sontcolin⇔e éaires stréel.  − ܤ ܣ  − ܦ ܥ ܣܤ ܥܦ⇔et sontorthogonaux estimaginaire pure.  − ܤ ܣ

5 SMAALI.MONDHER.

http://alphamaths.12r.org 4°M.

6 SMAALI.MONDHER.

http://alphamaths.12r.org 4°M.

▲