Cours sur les fonctions math

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Fonctions - Généralités Chapitre 1 ---- 1. Définitions 1.1. Notion de fonction Une fonction f est une relation entre 2 ensembles : un ensemble A de départ et un ensemble B d’arrivée, qui, à tout élément x de A fait correspondre, au plus un élément y de B. On note : y = f(x). y est l’image de x par f, x est un antécédent de y par f. Certains éléments x de A peuvent ne pas avoir d’image par f. On dit que ces éléments ne font pas partie de l’ensemble de définition de f, noté D . En tout état de cause, si x a une f image, celle-ci est unique. En revanche, il est tout à fait possible pour un élément y de B d’avoir plusieurs antécédents dans A. Si tout élément de A possède une image (et une seule) et si tout élément de B possède un antécédent et un seul, on dit que f est une bijection entre A et B. Dans toute la suite de ce chapitre, nous nous limiterons aux fonctions numériques, c’est-à-dire aux fonctions de  dans . 1.2. Ensemble de définition d’une fonction numérique Les fonctions numériques sont, le plus souvent, définies par une expression mathématique, comme par exemple : 3x  12 f (x)  x  2x  5 où f (x)  . 2x  3 Parfois, l’ensemble de définition est explicitement donné avec la définition de la fonction : 2x  1 Soit f la fonction définie sur 1,  par f (x)  .

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Publié le 10 octobre 2013
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Langue Français
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Fonctions - Généralités

Chapitre 1
----
1. Définitions
1.1. Notion de fonction

Une fonction f est une relation entre 2 ensembles : un ensemble A de départ et un
ensemble B d’arrivée, qui, à tout élément x de A fait correspondre, au plus un élément y de B.

On note : y = f(x).

y est l’image de x par f,
x est un antécédent de y par f.

Certains éléments x de A peuvent ne pas avoir d’image par f. On dit que ces éléments
ne font pas partie de l’ensemble de définition de f, noté D . En tout état de cause, si x a une f
image, celle-ci est unique.

En revanche, il est tout à fait possible pour un élément y de B d’avoir plusieurs
antécédents dans A.

Si tout élément de A possède une image (et une seule) et si tout élément de B possède
un antécédent et un seul, on dit que f est une bijection entre A et B.

Dans toute la suite de ce chapitre, nous nous limiterons aux fonctions numériques,
c’est-à-dire aux fonctions de  dans .
1.2. Ensemble de définition d’une fonction numérique
Les fonctions numériques sont, le plus souvent, définies par une expression
mathématique, comme par exemple :
3x  12 f (x)  x  2x  5 où f (x)  .
2x  3
Parfois, l’ensemble de définition est explicitement donné avec la définition de la
fonction :
2x  1
Soit f la fonction définie sur 1,  par f (x)  .  
x  1
Lorsque l’ensemble de définition n’est pas indiqué, il suffit d’examiner l’expression
pour déterminer les conditions d’existence de f(x) :

- Y-a-t’il un dénominateur ? (celui-ci doit être non nul)
- Y-a-e racine carrée ? (le radicande doit être positif ou nul)
- Y-a-t’il une fonction particulière non définie sur  ? (comme la fonction
logarithme par exemple).
BTS Productique Bois Chapitre 1 Page 1 2. Parité d’une fonction
2.1. Ensemble de définition centré
Soit f une fonction. Soit D son ensemble de définition. f
On dit que D est un ensemble de définition centré si et et seulement si : f

Pour tout réel x, si x  D , alors - x  D . f f

Exemples d’ensembles centrés Exemples d’ensembles non centrés
, 0,    
* (ou -{0}) -{1}
-{-1; 1} -{-1; 2}
4; 4 4; 3    

2.2. Fonction paire
On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,
2. Pour tout réel x de D , on a : f(-x) = f(x) f
Remarques :
n - si n est un entier pair, positif ou négatif, la fonction définie par f (x)  kx est paire.
(c’est d’ailleurs de cet exemple que vient la dénomination de fonction paire)
- la fonction x  x est une fonction paire,
- la fonction est une fonction paire, x  cos(x)
- l’opposée d’une fonction paire est une fonction paire,
- l’inverse d’une fonction paire est une fonction paire,
- la somme de deux fonctions paires est une fonction paire,
- le produit de 2 fonctions paires ou de 2 fonctions impaires est une fonction paire.
- la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par à l’axe des
ordonnées.
2.3. Fonction impaire
On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,
2. Pour tout réel x de D , on a : f(-x) = -f(x) f

Remarques :

n - si n est un entier impair, positif ou négatif, la fonction x  kx est impaire,
- la fonction x  sin(x) est impaire,
- la fonction x →tanx est impaire,
- l’opposée d’une fonction impaire est une fonction impaire,
- l’inverse d’une fonction impaire eonction impaire,
- la somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire,
BTS Productique Bois Chapitre 1 Page 2 - le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est une fonction impaire.
- la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
2.4. Autres cas de symétries dans une courbe

Soit f une fonction. Soit D son ensemble de définition et C sa courbe représentative. f
Deux cas peuvent se présenter :
- C est symétrique par rapport à un axe d’équation x  a ,
- C est symétrr ra un point (a,b).
Nous admettrons les résultats suivants :

Si, pour tout réel x tel que a  x  D , on a : a  x  D et f (a  x)  f (a  x) f f
Alors, la courbe C est symétrique par rapport à l’axe d’équation x  a .

Si, pour tout réel x tel que a  x  D , on a : a  x  D et f (a  x)  f (a  x)  2b f f
Alors, la courbe C est symétrique par rapport au point (a,b).

3. Périodicité
3.1. Définition

On dit qu’une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement
positif tel que :
x D , on a : x  T  D et f (x  T)  f (x) . f f

On appelle période de la fonction f le plus petit réel T vérifiant la propriété ci-dessus.

Si f est une fonction de période T, alors on a : x D : f (x  kT)  f (x) où k  . f

L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant
une seule période.

3.2. Exemples de fonctions périodiques

Rappelons les résultats bien connus sur les fonctions périodiques classiques :

Fonction D Période f
x →sinx  2
x →cosx  2
x →tanx -{/2+k    k  } 
x →sin(ax+b)   a 
x →cos(ax+b)  /a 

BTS Productique Bois Chapitre 1 Page 3