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Dans ce chapitre P designe le plan affine euclidien P designe le plan vectoriel euclidien

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Geometrie du plan 21 octobre 2011 Dans ce chapitre, P designe le plan affine euclidien ; ?? P designe le plan vectoriel euclidien. Les angles sont tous supposes orientes dans le sens trigonometrique et on mesure donc des angles orientes. I Produit scalaire dans le plan 1. Definition Definition 1 Soient ~u et ~v deux vecteurs du plan ?? P . le produit scalaire de ~u et ~v note ~u · ~v ou (~u|~v) est le reel : ~u · ~v = { 0 si ~u = ~0 ou ~v = ~0 ?~u? ?~v? cos ( (?~u,~v) ) sinon. 2. Proprietes Le produit scalaire dans le plan ?? P est une application de ?? P ? ?? P ? R qui a (~u,~v) ? ?? P ? ?? P associe le nombre reel (~u|~v) . Les proprietes1 suivantes du produit scalaire sont a connaıtre absolument2. Propriete 1 Le produit scalaire dans le plan ?? P est une forme bilineaire symetrique definie positive, c'est-a- dire une application de ?? P ? ?? P dans R (on parle de forme lorsqu'on arrive dans R) : 1.

  • produit scalaire

  • proprietes

  • sin a?

  • determinant

  • v? sin

  • aire algebrique du parallelogramme delimite


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Publié le 01 octobre 2011
Nombre de lectures 64
Langue Français
G´eom´etrieduplan
21 octobre 2011
−→ Dans ce chapitre,Plidieeucen;dise´lengalpenanPd´enelsegievtclpnaucleieor.endili Lesanglessonttoussuppose´sorient´esdanslesenstrigonome´triqueetonmesuredoncdesanglesorient´es.
I
Produit scalaire dans le plan
1.De´nition −→ D´enition1Soient~uet~vdeux vecteurs du planP. le produit scalaire de~uet~vntoe´u~v~ou(~u|v~):lee´retles ( ~ ~ 0si~u= 0ou~v= 0   ~uv~= [ k~uk kv~kcos (,uv~~)sinon.
2.Propri´et´es −→ −→ −→ −→ −→ Le produit scalaire dans le planPest une application deP × P Ra(i`quv,~~u)∈ P × Passocie le nombrer´eel(~u|~v). 1 2 Lespropri´et´essuivantesduproduitscalairesont`aconnaıˆtreabsolument. −→ Propri´et´e1Le produit scalaire dans le planP-a`-tsec,utseofenbemrniliiruq´mteeryse´iativeposinieed´e dire une application deP × PdansR(on parle de forme lorsqu’on arrive dansR) : 1.bilin´eaire,soit: (a)lin´eaire`agauche: −→ 3 2 (w~,v~,u~)∈ P,(α, β)R,(u~α+βv~|w~) =α(u~|~w) +β(~v|w~) ;
(b)lin´eairea`droite: −→ 3 2 (~u,~v,~w)∈ P,(α, β)R,
2.sym´etrique,soit:
3.d´enie,soit:
(u~|v~α+w~β) =α(~u|v~) +β(u~|~w)
−→ 2 (~v~u,)∈ P,(u~|v~) = (v~|u~).
~u∈ P,(~u|u~) = 0~u= 0.
4. positive, soit : −→ ~u∈ P,(u~|~u)0 1 Onles´etablitplusloinenexercicea`laidedelarepr´esentationcomplexeduproduitscalaire. 2 Onnedoitpassimplementsarreˆterauvocabulaire,maiseˆtrecapablededonnerlesensdechaquemot
1
;