Distributions-Analyse fonctionnelle 1 Maıtrise de Mathématiques ...

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Distributions-Analyse fonctionnelle 1 Maıtrise de Mathématiques ...

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• mathématiques
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Extrait

Distributions-Analyse

fonctionnelle

MaˆıtrisedeMath´ematiques

o Feuille d’exercices n 1 Re´visionsdetopologieetd’analysefonctionnelle

1.Quelleestladiff´erenceentre

C(Ω),C(Ω) etC(Ω) ?

1

2. SoitHeprcehi´eunpaesm.nui(e.itneblreilinrmebnefoid’uqirte´mys,eriae´ivitosepniefid´ue (,)iassemeroctnelpmtismasnpace´e).

0 (a) Montrer que le dualHdeHest complet. 0 (b) Soitσl’application deHdansHd´efiarniep

hσ(u), vi= (u, v)

pour tousuetvdeH. 0 0 Montrer queσunstsoeiee´mteirdeHsurHet queR(σ) est dense dansH(on pourra “transporter” surR(σ) le produit scalaire deHgleerp`rpoulions,aR(σ) et appliquerensuitelethe´or`emederepre´sentationdeRiesz. (c)End´eduirequeHtiene`fi´nsaus-ouapseedecdesnenu’trliebdeHepscapueˆtteerdi ˜ H.

0 3. Montrer que le dualEvecapsenu’d´ermnoelritoecE, muni de la norme

est toujours un Banach.

0 0 kxk E = sup|x(x)|, 0 kxk E ≥1

4.edlo¨Hed.rsdI´eeigtna´letngoueY De´montrerl’in´egalite´deYoung: 1 1 ∀>a, b 0,∀p, q∈N1+ = tels que p q

End´eduirel’in´egalite´deH¨older:

p q ∀f∈L ,∀g∈L

,

p q a b ab≤+ p q

kf gk 1 ≤ kfk p kgk q

p 5.Ond´esigneparEun espace de Banach, par [a, b] un intervalle compact deRet parE p l’espace des applications de classeCde [a, b] dansE,nor´mpera

p X (k) kuk p = supku(t)k. a≤t≤b k=0

p Pour chaque valeur depet chaquetdans [a, b], l’application deEdansEd´rapeinfie u7→u(trse)dae´isnge´peraL p (t). p (a) Montrer que pour toutp≥0, L p (ttned)tueseln´me´eL(E, E).