Dualité Algèbre - Géométrie

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Maison des Sciences de l'Homme 54 Boulevard Raspail, 75270 Paris Cedex 06 Équipe expérimentale F2DS Formalismes, Formes et Données Sensibles : recherches historiques, philosophiques et mathématiques Première école d'été Histoire conceptuelle des Mathématiques Universidade de Brasilia 17 – 29 février 2008 Dualité Algèbre - Géométrie (Morceaux choisis) Organisation PHILIPPE ABGRALL, MARIE ANGLADE, DOMINIQUE FLAMENT C.N.R.S. Fondation Maison des Sciences de l'Homme 54, Boulevard Raspail 75270 Paris cedex 06 - B.

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Informations

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Extrait

Maison des Sciences de l’Homme
54 Boulevard Raspail, 75270 Paris Cedex 06
Équipe expérimentale F DS 2
Formalismes, Formes et Données Sensibles :
recherches historiques, philosophiques et mathématiques
Première école d’été
Histoire conceptuelle des Mathématiques
Universidade de Brasilia
17 – 29 février 2008
Dualité Algèbre - Géométrie
(Morceaux choisis)
Organisation
PHILIPPE ABGRALL, MARIE ANGLADE, DOMINIQUE FLAMENT
C.N.R.S.
Fondation Maison des Sciences de l’Homme
54, Boulevard Raspail 75270 Paris cedex 06 - B. 308. Tel/fax : [phone]
E-mail : [e-mail]
http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/
Membres de l’équipe F DS 2
Responsable : Dominique FLAMENT
Bureau : Philippe ABGRALL, Marie ANGLADE
Catherine HARCOUR, Charles MORAZÉ,
Philippe NABONNAND, Peter STOCKINGER
Membres associés : Marie-José DURAND-RICHARD, Gerhard HEINZMANN,
Christian HOUZEL, Michel PATY, Jean PETITOT,
Roshdi RASHED, Jean-Jacques SZCZECINIARZ
Scott WALTER
Institutions associées aux projets de l’équipe
Académie des Sciences de Paris, Académie des Sciences de Saxe,
CNPq (Brésil),
Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS, dont les unités UMR 9949,
UMR 7596, UMR 7117, UMR 7062...),
CSIC (Espagne),
Collège de France, Collège International de Philosophie,
École des Hautes Etudes en Sciences Sociales (EHESS),
Écoles Normales Supérieures de Paris et de Lyon,
École Polytechnique,
Imperial College (Londres),
Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES), Fourier, Institut Henri Poincaré (IHP),
INPG de Grenoble, IUFM de Créteil,
Maison des Sciences de l’Homme de Paris (MSH),
Trinity College (Dublin),
Université de Bordeaux 3, Université Lyon 1, Université Nancy 2, Denis Diderot - Paris 7 (IREM etc...), Pierre et Marie Curie - Paris 6,
Université d’Orsay - Paris 11, Université de Provence, de Villetaneuse – Paris 13,
Universités allemandes
(Berlin, Bielefeld, Bochum, Leipzig, Hamburg...), espagnoles (Madrid, Barcelona, San Sebastián, Del Pais Vasco,
Valencia...)
Liste des enseignants
PHILIPPE ABGRALL (CNRS)
Cours
e eLes relations entre algèbre et géométrie du IXI au XIII siècles, dans l’histoire
des problèmes solides.
NICOLÁS ANDRUSKIEWITSCH (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina)
Cours
Des groupes de Lie aux groupes quantiques.
Conférence
On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras.
MARIE ANGLADE (FMSH & CNRS)
Cours
eComment l'algèbre a permis de répondre aux questions géométriques, au XVII
siècle, de les généraliser et d'en simplifier considérablement l'analyse au sens des
Anciens. Qu'est-ce qu'une question algébrique, une question géométrique et quels
sont les rapports entre les deux ?
WILTON BARROSO FILHO (UnB)
Cours
Lagrange : La mécanique analytique ou la réduction du tout aux calculs
algébriques, sans aucun raisonnement géométrique ni figure.
DANIEL BENNEQUIN (Inst. de Mathématiques de Jussieu, Univ. Paris Diderot-Paris 7)
Cours
Dualités,
Sources anciennes (depuis Poncelet jusqu'à nos jours),
Loi de réciprocité quadratique, suefaces de Riemann, …
Dualités de supercordes et dualité de Langlands, …
PIERRE CARTIER (CNRS, Institut des Hautes Études Scientifiques)
Cours
Théories de Galois géométriques
a) Une vue géométrique de la théorie de Galois à travers les revêtements
b) Algébrisation des équations différentielles , et leur théorie de Galois par
l’intermédiaire de la monodromie
c) Synthèse de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique, et la
théorie de Galois motivique.
Conférence
Sur la notion de spectre : de l'optique à la géométrie algébrique.
MARC CHAPERON (Inst. de Mathématiques de Jussieu, Univ. Paris Diderot-Paris 7)
Cours
Comment la géométrie a constamment posé des problèmes à l'algèbre, qui le lui a
bien rendu ?
DOMINIQUE FLAMENT (CNRS, FMSH & UnB)
Cours
1. W. R. Hamilton : Temps pur, paires algébriques et quaternions ; un pari
d’existence algébrique. 2. H. G. Grassmannn : La lineale Ausdehnungslehre :
entre géométrie, calcul géométrique et algèbre linéaire. 3. J. B. Listing : Traiter
du qualitatif ou de la modalité en mathématiques: la topologie.
MARIA TEREZINHA JESUS GASPAR (UnB)
Cours
A Geometria dos Sulbasutras.
GÉRARD GRIMBERG (UFRJ)
Cours
eAnalyse et mécanique au XVIII siècle : quelques exemples.
CHARLES-MICHEL MARLE (Institut de Mathématiques de Jussieu, Université P. & M.
Curie – Paris 6)
Cours
Algèbre et Géométrie dans le monde symplectique : présenter les notions de base
de la géométrie symplectique et ses développements récents, avec un examen
attentif des sources : Lagrange, Poisson, Jacobi, Hamilton pour le point de
départ et, pour les travaux plus récents (géométrie de Poisson, fibrés de Jacobi,
quantification géométrique) Lichnerowicz, Weinstein, Guillemen et Sternberg,
Marsden, Kostant, Souriau.
Conférence
Travaux d'Élie Cartan et de Charles Ehresmann sur les connexions.
TATIANA ROQUE (UFRJ)
Cours
A noção de estabilidade como motivação dos métodos geométricos em sistemas
dinâmicos.
JEAN-JACQUES SZCZECINIARZ (Université Paris 7 – Denis Diderot)
Cours
Galois et Grothendieck.
KETI TENENBLAT (Professeur, UnB, Math.)
Conférence
Alguns aspectos de superficies de curvatura média constante.
TABLE DES MATIÈRES
CHARLES-MICHEL MARLE
Algèbre et Géométrie dans le monde symplectique
I - Systèmes hamiltoniens............................................................1 à 26
II - Réduction symplectique.........................................................1 à 13
III - Structures de Poisson ...........................................................1 à 16
The Work of Charles Ehresmann on connections :
from Cartan connections to connections on fibre bundles....................1 à 22
DANIEL BENNEQUIN
Dualité Physique-Géométrie et Arithmétique ......................................1 à 52

NICOLÁS ANDRUSKIEWITSCH
De los grupos de Lie a los grupos cuánticos ........................................1 à 36
MARC CHAPERON
Comment la géométrie a constamment posé des problèmes à l'algèbre,
qui le lui a bien rendu...........................................................................1 à19
PIERRE CARTIER
Théories de Galois géométriques.........................................................1 à 31
Sur la notion de spectre : de l'optique à la géométrie algébrique..........1 à 11 Algèbre et Géométrie dans
le monde symplectique
I - Systèmes hamiltoniens
______________________
CHARLES-MICHEL MARLE
(Institut de Mathématiques de Jussieu,
Université P. & M. Curie – Paris 6)
6
6
Algebre` et Geom´ etrie´ dans le monde symplectique
I. Systemes` hamiltoniens
Charles-Michel Marle
Universite´ Pierre et Marie Curie
Paris, France
`Table des matieres
1 Rappels de Geom´ etrie´ differ´ entielle
1.1 Variet´ es´ differ´ entiables
1.1.1 Definitions.´ 1. Une variet´ e´ topologique de dimension n est un espace topologique dont
ntout point possede` un voisinage homeomorphe´ a` un ouvert deR .
2. Une carte d’une variet´ e´ topologique M de dimension n est un couple(U;j) ou` U est un
nouvret de M et j un homeomorphisme´ de U sur un ouvert deR . Les fonctions qui, a` un point
1 2 nx2 U, associent les composantes x ; x ;:::;x de j(x), sont appelees´ coordonnees´ locales du
point x dans la carte(U;j).

3. Un atlas de la variet´ e´ topologique M, de dimension n, est une famille (U;j); i2 Ii iS
de cartes telles que U = M. Un tel atlas est dit differ´ entiable si, pour tout couple de cartesii2I
(U;j) et (U ;j ) de cet atlas, avec U\U = 0,/ l’application (appelee´ changement de carte)i i j j i j
1 ¥j j est un diffeomorphisme´ (de classe C ) de l’ouvertj(U\U ) sur l’ouvertj (U\U )j i i j j i ji
ndeR . Deux atlas differentiables´ (U;j); i2 I et (V ;y ); k2 K sur cette variet´ e´ sont ditsi i k k
1equivalents´ si pour tout (i;k)2 I K tels que U\V = 0,/ le changement de carte y j esti k k i
¥ nun diffeomorphisme´ (de classe C ) de l’ouvertj(U\V ) sur l’ouverty (U\V ) deR .i i k k i k